Кръгов сектор

Кръговият сектор е парче от кръг, което прилича на резен пица или торта. Изрязваш го с два разреза, които вървят от центъра до края. Следователно секторът е ограничен от два радиуса и парче от окръжността между тях.

В червено е оцветен самият сектор, неговото лице ще пресмятаме. Черните отсечки са двата радиуса r, тоест двата разреза с нож. В оранжево е означен ъгълът α, който сключват радиусите. Нарича се централен ъгъл, защото върхът му е в центъра на кръга. В синьо е дъгата l, парчето от окръжността, което ограничава сектора отвън, при пицата това е коричката.

Формули за сектор

Ако търсиш само формулата, лицето на кръгов сектор S с радиус r и централен ъгъл α в градуси се изчислява като

$$S=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Дължината на дъгата l на същия сектор се изчислява като

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Например секторът с радиус r = 6 и централен ъгъл α = 60° има лице

$$S=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

а дъгата му е дълга

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Ако не ти харесва резултат, в който има константата пи, можеш да заместиш с приблизителната стойност 3,14:

$$S\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Как стигнахме до тях?

Цял кръг има около центъра си ъгъл 360°. Секторът е такава част от кръга, каквато част от 360° заема централният му ъгъл. Секторът с ъгъл 90° е една четвърт от кръга, защото 90° е една четвърт от 360°. Секторът с ъгъл 180° е половин кръг, с ъгъл 270° три четвърти, а с ъгъл 360° целият кръг:

Каква част от целия кръг заема секторът, ни казва затова дробта

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

За ъгъл 90° получаваме $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, за 60° съответно $\frac{1}{6}$. Лицето на сектора е следователно същата част от лицето на целия кръг. Лицето на кръга е

$$S_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

така че лицето на сектора получаваме, като го умножим по тази дроб:

$$S=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot S_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Съвсем същото е и с дъгата. Когато ъгълът се отваря, расте и синята дъга, а при ъгъл 360° от нея става цялата окръжност. Дъгата е затова същата част от дължината на окръжността, каквато е ъгълът α от 360°. Дължината на окръжността е

$$C=2\cdot \pi \cdot r,$$

и дължината на дъгата е следователно

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot C=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Пример: пица

Пица има диаметър 32 cm и е нарязана на 8 равни парчета. Какво е лицето на едно парче?

Всяко парче е кръгов сектор. Първо ни трябва централният му ъгъл. Осемте равни парчета си поделят целите 360°, така че едно парче има ъгъл

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Сега внимание, тук има капан: 32 cm е диаметърът на пицата, а не радиусът. Във формулата обаче трябва радиусът, а той е половината от диаметъра, тоест r = 16 cm. Заместваме във формулата за лицето на сектор:

$$S=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Дробта се съкращава на една осма, което има смисъл, защото парчето е осмата част от пицата. Повдигаме 16 на квадрат:

$$S=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Числото 256 делим на осем:

$$S=32\pi$$

И накрая заместваме с приблизителната стойност на пи:

$$S\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Едно парче има лице приблизително 100,48 квадратни сантиметра. Ако някой по погрешка замести във формулата целия диаметър 32 cm, ще получи парче четири пъти по-голямо, тоест над четиристотин квадратни сантиметра. Това би била пица, с която ще се нахрани цялото семейство.

Пример: часовник

Минутната стрелка на стенен часовник е дълга 15 cm. Колко сантиметра изминава върхът ѝ за 20 минути?

Върхът на стрелката се движи по окръжност, чийто радиус е дължината на стрелката, така че r = 15 cm. Пътят, който изминава, е синята дъга l. Остава ни да намерим ъгъла. За 60 минути стрелката обикаля цял кръг, тоест 360°. За 20 минути ще измине една трета от кръга:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Заместваме във формулата за дължината на дъга:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Дробта е една трета, а 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Заместваме с приблизителната стойност на пи:

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Върхът на минутната стрелка изминава за 20 минути приблизително 31,4 cm.

Когато знаем дъгата и търсим ъгъла

Понякога е обратно: знаем радиуса и дължината на дъгата и искаме да намерим централния ъгъл. Тръгваме от формулата за дължината на дъга и от нея изразяваме ъгъла α:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Пример: Кола влиза в кръгово кръстовище и се движи по окръжност с радиус 10 метра. Докато излезе от него, изминава по нея 15,7 метра. На какъв ъгъл около центъра на кръговото кръстовище се е завъртяла?

Заместваме l = 15,7, r = 10 и за пи 3,14, защото дължината на дъгата е зададена приблизително:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Умножаваме в знаменателя:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Числото 15,7 е точно една четвърт от 62,8, така че дробта се съкращава:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Колата се е завъртяла на 90°, обиколила е следователно една четвърт от кръговото кръстовище. Можем да проверим дали сме пресметнали вярно: една четвърт от дължината на окръжността е $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ метра. Съвпада.

Ъгъл в радиани

Ако ъгълът ти е зададен в радиани, формулите се опростяват. Цял кръг има 360° = 2π радиана, така че дробта, която казва каква част от кръга заема секторът, е $\frac{\alpha }{2\pi }$. След заместването пи се съкращава:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$S=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Внимание, в тези съкратени формули се замества ъгъл в радиани, не в градуси. Ако заместиш например 45, ще получиш безсмислица.

Например парчето пица от примера по-горе има ъгъл 45°, което е $\frac{\pi }{4}$ радиана. Лицето на парчето е тогава $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, също както преди.

Калкулатор

Лицето на сектора и дължината на дъгата можеш да пресметнеш и тук. Ъгълът може да се въведе в градуси и в радиани, мерните единици превключваш при всяко поле.

Виж също

• Лице на кръг
• Дължина на окръжност
• Окръжност
• Радианна мярка на ъгъл