부채꼴

부채꼴은 피자나 케이크 한 조각처럼 생긴 원의 일부분이다. 중심에서 가장자리까지 칼로 두 번 자르면 잘라 낼 수 있다. 따라서 부채꼴은 두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 도형이다.

빨간색으로 칠한 부분이 부채꼴이고, 이 넓이를 구할 것이다. 검은 선분은 두 반지름 r, 즉 칼로 자른 두 자국이다. 주황색으로 표시한 것은 두 반지름이 이루는 각 α이다. 이 각은 꼭짓점이 원의 중심에 있으므로 중심각이라고 한다. 파란색은 호 l로, 부채꼴을 바깥쪽에서 둘러싸는 원의 일부분이다. 피자로 치면 가장자리의 빵 부분이다.

부채꼴의 공식

공식만 필요하다면, 반지름이 r이고 중심각이 α(도 단위)인 부채꼴의 넓이 S는 다음과 같다.

$$S=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

같은 부채꼴의 호의 길이 l은 다음과 같다.

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

예를 들어 반지름이 r = 6이고 중심각이 α = 60°인 부채꼴의 넓이는 다음과 같고

$$S=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

호의 길이는 다음과 같다.

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

결과에 원주율이 남는 것이 싫다면 근삿값 3.14를 대입하면 된다.

$$S\fallingdotseq 6\cdot 3.14=18.84,l\fallingdotseq 2\cdot 3.14=6.28$$

공식의 유도

원 전체는 중심 주위로 360°의 각을 이룬다. 부채꼴이 원에서 차지하는 비율은 중심각이 360°에서 차지하는 비율과 같다. 중심각이 90°인 부채꼴은 원의 4분의 1이다. 90°는 360°의 4분의 1이기 때문이다. 중심각이 180°인 부채꼴은 원의 절반, 270°이면 4분의 3, 360°이면 원 전체이다.

따라서 부채꼴이 원 전체에서 차지하는 비율은 다음 분수로 나타낼 수 있다.

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

각이 90°이면 $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$이고, 60°이면 $\frac{1}{6}$이다. 부채꼴의 넓이도 원 전체의 넓이에서 같은 비율을 차지한다. 원의 넓이는 다음과 같다.

$$S_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

따라서 이 넓이에 앞의 분수를 곱하면 부채꼴의 넓이를 얻는다.

$$S=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot S_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

호도 마찬가지이다. 각이 벌어지면 파란 호도 함께 길어지고, 각이 360°가 되면 원 전체가 된다. 따라서 호의 길이가 원의 둘레에서 차지하는 비율은 각 α가 360°에서 차지하는 비율과 같다. 원의 둘레는 다음과 같다.

$$L=2\cdot \pi \cdot r,$$

따라서 호의 길이는 다음과 같다.

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot L=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

예제: 피자

지름이 32 cm인 피자를 똑같이 8조각으로 잘랐다. 한 조각의 넓이는 얼마일까?

각 조각은 부채꼴이다. 먼저 중심각을 구해야 한다. 똑같은 여덟 조각이 360°를 나누어 가지므로 한 조각의 중심각은 다음과 같다.

$$\alpha ={360}^{\circ }÷8={45}^{\circ }$$

여기서 함정에 주의하자. 32 cm는 피자의 지름이지 반지름이 아니다. 공식에는 반지름이 들어가야 하고, 반지름은 지름의 절반인 r = 16 cm이다. 부채꼴의 넓이 공식에 대입하면 다음과 같다.

$$S=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

분수를 약분하면 8분의 1이 된다. 한 조각이 피자의 8분의 1이므로 이치에 맞는다. 16을 제곱한다.

$$S=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

256을 8로 나눈다.

$$S=32\pi$$

마지막으로 원주율의 근삿값을 대입한다.

$$S\fallingdotseq 32\cdot 3.14=100.48$$

한 조각의 넓이는 약 100.48 cm²이다. 잘못해서 지름 32 cm를 그대로 공식에 넣으면 한 조각이 네 배나 크게, 즉 400 cm²가 넘게 나온다. 그런 피자라면 온 가족이 배불리 먹을 수 있을 것이다.

예제: 시계

벽시계 분침의 길이는 15 cm이다. 20분 동안 분침의 끝은 몇 cm를 움직일까?

분침의 끝은 분침의 길이를 반지름으로 하는 원 위를 움직이므로 r = 15 cm이다. 끝이 움직인 거리는 파란 호 l이다. 이제 각을 구해야 한다. 분침은 60분 동안 한 바퀴, 즉 360°를 돈다. 20분 동안은 3분의 1바퀴를 돈다.

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

호의 길이 공식에 대입한다.

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

분수는 3분의 1이고 2 · 15 = 30이다.

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

원주율의 근삿값을 대입한다.

$$l\fallingdotseq 10\cdot 3.14=31.4$$

분침의 끝은 20분 동안 약 31.4 cm를 움직인다.

호의 길이로 중심각 구하기

반대인 경우도 있다. 반지름과 호의 길이를 알고 중심각을 구하려는 경우이다. 호의 길이 공식에서 출발하여 각 α에 대해 정리한다.

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/÷(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

예제: 자동차가 회전 교차로에 들어가 반지름이 10 m인 원을 따라 달린다. 회전 교차로를 빠져나가기 전까지 원을 따라 15.7 m를 달렸다. 자동차는 회전 교차로의 중심 주위로 몇 도를 돌았을까?

l = 15.7, r = 10을 대입하고, 호의 길이가 근삿값으로 주어졌으므로 원주율에는 3.14를 넣는다.

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15.7}{2\cdot 3.14\cdot 10}$$

분모를 계산한다.

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15.7}{62.8}$$

15.7은 62.8의 4분의 1이므로 분수를 약분할 수 있다.

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

자동차는 90°를 돌았으므로 회전 교차로의 4분의 1을 달린 것이다. 계산이 맞는지 확인할 수도 있다. 원 둘레의 4분의 1은 $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3.14\cdot 10=15.7$ m이다. 맞는다.

라디안으로 나타낸 각

각이 라디안으로 주어지면 공식이 더 간단해진다. 원 전체의 각은 360° = 2π 라디안이므로, 부채꼴이 원에서 차지하는 비율은 $\frac{\alpha }{2\pi }$이다. 대입하면 원주율이 약분된다.

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$S=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

이 간단한 공식에는 도가 아니라 라디안으로 나타낸 각을 넣어야 한다는 점에 주의하자. 예를 들어 45를 넣으면 엉터리 결과가 나온다.

앞에서 본 피자 한 조각은 중심각이 45°, 즉 $\frac{\pi }{4}$ 라디안이다. 이때 한 조각의 넓이는 $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$로, 앞에서 구한 값과 같다.

계산기

부채꼴의 넓이와 호의 길이는 여기에서도 구할 수 있다. 각은 도와 라디안 중 어느 것으로도 입력할 수 있고, 각 칸의 단위는 바꿀 수 있다.

함께 보기

• 원의 넓이
• 원의 둘레
• 원
• 호도법