Luas segi banyak beraturan

Segi banyak beraturan adalah segi banyak yang semua sisinya sama panjang dan semua sudutnya sama besar, misalnya persegi. Seperti inilah bentuk segi delapan beraturan:

Bagaimana cara menghitung luas segi delapan beraturan seperti ini jika panjang sisinya diketahui? Sebagai contoh, misalkan panjang sisinya a = 10. Kita bagi segi delapan itu menjadi delapan segitiga yang kongruen:

Dengan begitu, pekerjaan kita menjadi lebih mudah: cukup hitung luas satu segitiga, lalu kalikan dengan delapan, dan diperoleh luas seluruh segi delapan. Apa yang kita ketahui tentang segitiga-segitiga ini? Semuanya segitiga sama kaki: dua sisi yang berawal di pusat O selalu sama panjang, sedangkan panjang sisi segi delapan berbeda (hanya segi enam yang dapat dibagi menjadi segitiga yang ketiga sisinya sama panjang). Jadi, panjang sisi FO sama dengan panjang sisi EO.

Berapa besar sudut yang dibentuk di titik sudut O? Misalnya, berapa besar sudut ∠FOE? Semua segitiga itu kongruen, sehingga semua sudut di titik O juga harus sama besar. Selain itu, jika semua sudut ini dijumlahkan, kita memperoleh 360 derajat, yaitu satu putaran penuh. Jadi, besar sudut ∠FOE sama dengan 360 dibagi banyaknya sudut, yaitu banyaknya segitiga.

$$\mathrm{\angle }FOE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Jumlah semua sudut dalam segitiga adalah 180°, dan segitiga kita sama kaki, sehingga dua sudut lainnya sama besar, yaitu 67,5°:

Bagaimana sekarang kita menghitung luas segitiga sama kaki ini? Panjang sisi FE diketahui dari soal, yaitu |FE| = 10. Sekarang kita gambar garis tinggi segitiga yang melalui titik O:

Ruas garis OP_s ini membagi segitiga menjadi dua segitiga yang lebih kecil. Keduanya juga kongruen, hanya letaknya saling dicerminkan. Mari kita susun ulang segitiga-segitiga itu. Segitiga FOP_s kita pindahkan sehingga bangunnya membentuk persegi panjang:

Persegi panjang OF₁EP_s ini memiliki luas yang sama dengan segitiga FOE. Luas persegi panjang dihitung sebagai hasil kali panjang dua sisinya:

$$L_{◻}=|t_s|\cdot |P_{s}E|$$

Panjang ruas garis P_sE sudah diketahui, yaitu setengah panjang sisi FE, dan panjang sisi itu (menurut soal, karena merupakan sisi segi delapan) adalah |FE| = 10. Jadi, panjang ruas garis P_sE adalah |P_sE| = 5. Tinggi t_s lebih sulit. Segitiga P_sOE adalah segitiga siku-siku, sehingga kita dapat memakai fungsi trigonometri. Besar sudut ∠P_sOE setengah dari sudut semula ∠FOE, yaitu

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}OE=\frac{\mathrm{\angle }FOE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Sekarang kita gunakan fakta bahwa kotangen sudut sama dengan perbandingan panjang sisi samping dengan sisi depan sudut itu. Agar lebih jelas, sudut ∠P_sOE kita lambangkan dengan huruf Yunani α:

$$\cot \alpha =\frac{|t_s|}{|P_{s}E|}$$

Dari persamaan ini kita perlu mencari |t_s|, jadi kedua ruas persamaan kita kalikan dengan |P_sE|, dan diperoleh:

$$\cot \alpha \cdot |P_{s}E|=|t_s|$$

Sekarang kita tahu berapa tingginya. Kita substitusikan nilai-nilainya:

$$\begin{array}{rcl}|t_s|& =& \cot \alpha \cdot |P_{s}E|\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

Panjang tingginya kira-kira 12. Luas persegi panjang, dan juga luas segitiga, adalah

$$L_{\mathrm{△}}=|t_s|\cdot |P_{s}E|$$

Setelah disubstitusikan, diperoleh:

$$L_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

Luas satu segitiga kira-kira 60. Karena ada delapan segitiga, luas segi delapan beraturan dengan panjang sisi a = 10 kira-kira

$$L=8\cdot L_{\mathrm{△}}=480$$

Bagaimana kita memperoleh rumusnya? Untuk segi-n beraturan dengan panjang sisi a berlaku

$$L=n\cdot L_{\mathrm{△}}$$

Tinggal mencari rumus umum untuk $L_{\mathrm{△}}$:

$$L_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \alpha \cdot \frac{a}{2}$$

Sudut α adalah setengah dari sudut yang dibentuk segitiga di pusat O, yaitu

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Kita substitusikan kembali:

$$L_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

Lalu kita rapikan sedikit:

$$L_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Pada langkah terakhir, nilai ini kita kalikan dengan banyaknya sisi segi-n, dan diperoleh rumus akhirnya:

$$L=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \cot \frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Kalkulator