Giới hạn hữu hạn tại vô cực

Giới hạn của hàm số là một trong những khái niệm quan trọng nhất của giải tích toán học. Nó mô tả dáng điệu của một hàm số trong lân cận của một điểm nhất định; nhờ đó ta có thể, chẳng hạn, định nghĩa tính liên tục của hàm số. Giới hạn của hàm số còn giúp ta hiểu dáng điệu của hàm số ngay cả tại những điểm mà hàm số hoàn toàn không xác định.

Giới hạn hữu hạn tại vô cực

Trường hợp này giống với giới hạn của dãy số. Ta tìm giới hạn của hàm số khi x dần tới vô cực. Giới hạn có thể hữu hạn hoặc vô cực. Ta bắt đầu với giới hạn hữu hạn.

Cho ∞ là điểm tụ của tập xác định D của hàm số f. Khi đó L ∈ ℝ là giới hạn của hàm số tại ∞ nếu

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

và tại −∞ nếu

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Định nghĩa này nói gì? Nếu ta chọn một lân cận ϵ quanh giới hạn dự đoán L (tức là trên trục tung), thì ta luôn tìm được trên trục hoành một điểm A sao cho với mọi điểm x nằm bên phải A, tức là x>A, ta có |f(x) − L| < ϵ, nghĩa là mọi giá trị của hàm số đều cách giới hạn L một khoảng nhỏ hơn ϵ.

Xét hàm số f(x) = (2/x) + 1. Đồ thị:

Ta thấy khi x dần tới vô cực thì giá trị f(x) dần tới 1. Vậy ta chọn L = 1. Bây giờ ta chứng minh L = 1 đúng là giới hạn của hàm số này tại dương vô cực. Trước hết ta thử nghiệm. Chọn một giá trị epsilon, chẳng hạn $ϵ=\frac{1}{2}$. Ta thử tìm A ∈ ℝ sao cho với mọi x lớn hơn A, giá trị của hàm số cách L một khoảng nhỏ hơn ϵ. Ta phác hoạ lên hình:

Giá trị f(x) cách điểm L một khoảng nhỏ hơn ϵ có nghĩa là đường cong biểu diễn đồ thị hàm số nằm giữa hai đường màu đỏ. Bây giờ ta cần tìm ngưỡng A trên trục hoành, kể từ đó điều kiện này được thoả mãn. Không nhất thiết phải là ngưỡng nhỏ nhất, nên ta có thể chọn chẳng hạn A = 6.

Ta thấy phần đường cong nằm sau ngưỡng A hoàn toàn nằm giữa hai đường màu đỏ đánh dấu khoảng cách ϵ đến L. Ta mới chứng minh điều này cho một giá trị ϵ cụ thể. Để chứng minh L = 1 thật sự là giới hạn, ta phải chứng minh được điều đó với mọi ϵ > 0.

Bây giờ ta cần xác định hệ thức sau đúng với những giá trị A nào:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Sau khi thay vào:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Hai số 1 triệt tiêu nhau:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Tiếp theo, có thể giả sử ta chỉ lấy các giá trị x dương (ta quan tâm đến các giá trị x dần tới dương vô cực), nhờ đó bỏ được dấu giá trị tuyệt đối:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Nhân hai vế với x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Chia hai vế cho ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Qua các phép biến đổi, ta thấy x phải lớn hơn 2/ϵ. Vậy nếu chọn A là một số lớn hơn 2/ϵ thì ta tìm được ngưỡng cần tìm.

Trong lần thử ở trên ta chọn $ϵ=\frac{1}{2}$, nên phải chọn A là một số lớn hơn $2/\frac{1}{2}=4$. Ta đã chọn A = 6, như vậy là đúng.