무한대에서의 극한값

함수의 극한은 해석학에서 가장 중요한 개념 가운데 하나이다. 어떤 점의 근방에서 함수가 어떻게 행동하는지 알려 주고, 이를 이용해 예를 들어 함수의 연속을 정의할 수 있다. 함수의 극한을 이용하면 함수가 아예 정의되지 않은 곳에서도 함수가 어떻게 행동하는지 이해할 수 있다.

무한대에서의 극한값

이 경우는 수열의 극한과 비슷하다. 무한대에서 함수가 어떤 극한을 가지는지 구한다. 극한은 유한한 값일 수도 있고 무한대일 수도 있다. 극한값이 유한한 경우부터 시작하자.

∞가 함수 f의 정의역의 집적점이라고 하자. 다음이 성립하면 L ∈ ℝ을 점 ∞에서 함수의 극한이라고 한다.

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

다음이 성립하면 점 −∞에서의 극한이다.

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

정의는 무엇을 말할까? 예상하는 극한 L 주위(즉 y축 위)에 어떤 ϵ-근방을 잡으면, x축 위에서 언제나 어떤 점 A를 찾을 수 있어서, A의 오른쪽에 있는 아무 점 x, 즉 x>A를 택하면 |f(x) − L| < ϵ이 성립한다는 것이다. 즉 모든 함숫값이 극한 L에서 ϵ보다 가까이 있다.

함수 f(x) = (2/x) + 1을 보자. 그래프는 다음과 같다.

x의 값이 무한대로 갈 때 함숫값 f(x)가 1에 가까워진다는 것을 알 수 있다. 그래서 L = 1로 잡는다. 이제 L = 1이 정말 양의 무한대에서 이 함수의 극한이라는 것을 증명하자. 먼저 시험해 보자. 어떤 엡실론, 예를 들어 $ϵ=\frac{1}{2}$을 고른다. 이제 A보다 큰 모든 x에서 함숫값이 L에서 ϵ보다 가까이 있게 하는 A ∈ ℝ을 찾아보자. 그림으로 그려 보자.

함숫값 f(x)가 점 L에서 ϵ보다 가까이 있다는 것은 함수의 그래프인 곡선이 두 빨간 선 사이에 있다는 뜻이다. 이제 x축 위에서 이 조건이 성립하기 시작하는 경계 A를 찾아야 한다. 가능한 가장 작은 경계일 필요는 없으므로 예를 들어 A = 6을 고를 수 있다.

경계 A 뒤에서는 그래프인 곡선 전체가 L에서 ϵ만큼 떨어진 곳을 나타내는 빨간 선 사이에 있다는 것을 알 수 있다. 지금은 구체적인 ϵ 하나에 대해서만 보였다. L = 1이 정말 극한이라는 것을 증명하려면 모든 ϵ > 0에 대해 보일 수 있어야 한다.

이제 어떤 A에 대해 다음 관계가 성립하는지 알아내야 한다.

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

대입하면 다음과 같다.

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

두 1을 소거할 수 있다.

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

또 양수인 x만 생각한다고 할 수 있으므로(양의 무한대로 가는 x의 값에 관심이 있다) 절댓값을 없앨 수 있다.

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

x를 곱한다.

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

ϵ으로 나눈다.

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

변형해서 x가 2/ϵ보다 커야 한다는 것을 알아냈다. 따라서 A로 2/ϵ보다 큰 수를 고르면 찾던 경계를 얻는다.

앞의 시험에서는 $ϵ=\frac{1}{2}$을 골랐으므로 A로 $2/\frac{1}{2}=4$보다 큰 수를 골라야 한다. A = 6을 골랐으므로 맞는다.