Superficie del cono

La superficie del cono ci dice, detto in modo semplice, quanta carta o quanta lamiera ci serve per costruire l’intero cono o per rivestirlo. Non confonderla con il volume del cono, che indica quanta acqua può contenere il cono. Il cono ha due parti: in basso una base circolare e sopra la superficie laterale, che si restringe fino al vertice.

Il raggio di base r nella figura è rosso, l’altezza h blu e l’apotema del cono a verde: misura la distanza dal vertice al bordo della base.

Formula della superficie del cono

Se cerchi solo la formula, la superficie totale A_t di un cono la cui base ha raggio r e il cui apotema misura a si calcola così

$$A_t=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot a$$

Il primo addendo è l’area di base, il secondo l’area della superficie laterale. A volte la formula si scrive anche con il raccoglimento di π · r:

$$A_t=\pi \cdot r\cdot (r+a)$$

Prendiamo un cono con raggio di base r = 3 e apotema a = 5. La sua superficie è

$$A_t=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Se vuoi scrivere il risultato come un numero normale invece che con il pi greco, sostituisci il valore approssimato 3,14:

$$A_t\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Come ci siamo arrivati?

La base è un semplice cerchio, quindi la sua area la conosciamo dalla formula per l’area del cerchio: π · r².

Con la superficie laterale la cosa è più interessante. Se la tagliamo lungo l’apotema e la stendiamo sul tavolo, otteniamo un settore circolare di raggio a. La figura mostra lo sviluppo completo del cono: il settore rosso è la superficie laterale, il cerchio blu è la base. Nella figura animata lo sviluppo si richiude formando il cono e poi si riapre.

L’arco arancione del settore, prima del taglio, era il bordo della base, perciò è lungo quanto la circonferenza arancione in basso, cioè la lunghezza della circonferenza 2π r. L’intera circonferenza di raggio a misurerebbe 2π a. Il settore occupa del cerchio intero di raggio a esattamente la stessa frazione che l’arco occupa dell’intera circonferenza:

$$\frac{2\pi r}{2\pi a}=\frac{r}{a}$$

Per il cono dell’esempio precedente sono tre quinti del cerchio, proprio come nella figura. Il cerchio intero avrebbe area π · a² e la superficie laterale ne prende la parte $\frac{r}{a}$:

$$A_l=\frac{r}{a}\cdot \pi \cdot a^2=\pi \cdot r\cdot a$$

Aggiungendo alla superficie laterale anche la base, otteniamo la formula completa A_t = π · r² + π · r · a.

Esempio: il cappello di carta

Si avvicina una festa e vogliamo costruire per l’occasione un cappello di carta a forma di cono. In basso deve avere un raggio di 8 cm e l’altezza deve essere di 15 cm. Quanta carta ci serve?

La formula, però, richiede l’apotema a e non l’altezza. Altezza, raggio e apotema formano un triangolo rettangolo, quindi l’apotema lo calcoliamo con il teorema di Pitagora. Sostituiamo r = 8 e h = 15:

$$a=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Eleviamo al quadrato:

$$a=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Resta da estrarre la radice:

$$a=17$$

Qui ci aspetta un trabocchetto: il cappello non ha il fondo. Chi usasse la formula completa costruirebbe un cappello con la base, e un cappello così si indossa piuttosto male. Calcoliamo quindi soltanto la superficie laterale:

$$A_l=\pi \cdot r\cdot a=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Sostituiamo il valore approssimato del pi greco:

$$A_l\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Per il cappello ci servono circa 427 centimetri quadrati di carta, più un pezzetto per incollarlo.

Calcolatore

Inserisci il raggio di base e l’apotema; per ogni campo puoi cambiare l’unità di misura. Il calcolatore usa il valore esatto del pi greco, perciò ottiene un risultato un po’ più grande di 75,36.

Vedi anche

• Volume del cono
• Settore circolare
• Superficie del cilindro
• Superficie della piramide