지수함수

지수함수는 지수 자리에 변수가 있는 함수이다.

정의

지수함수 f는 다음과 같은 꼴이다.

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

기호 a는 임의의 수이고 복잡한 식이 아니며, 밑이라고 한다. 식 x는 지수라고 한다. 예를 들어 정수 3, 유리수 $\frac{1}{2}$, 상수 π 등이 밑이 될 수 있다.

밑 a에 왜 조건을 붙일까? a가 1이면 “1의 몇 제곱”이든 언제나 1이므로 상수함수가 된다. 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1이다. 상수함수는 지수함수에 넣지 않으므로 a는 1이 아니어야 한다. 그래서 a ≠ 1이다.

또 왜 a>0이어야 할까? 지수가 실수인 거듭제곱은 밑이 양수일 때만 정의되기 때문이다. 예를 들어 x에 2분의 1을 대입하여 $a^{\frac{1}{2}}$을 계산하는 것은 a의 제곱근을 구하는 것과 같다. 그런데 제곱근은 음이 아닌 수에서만 구할 수 있다.

이 조건을 만족하면 지수함수 f(x) = a^x의 정의역은 실수 전체이다.

이차함수와 지수함수

지수함수는 이차함수와 헷갈리기 쉽다. 이차함수는 변수가 밑이고 수가 지수인 반면, 지수함수는 수가 밑이고 변수가 지수이다. 예를 들어 x², x² + 4, x² − x + 1은 이차함수이다. 2^x, 4^x, π^x은 지수함수이다.

중요한 지수함수

중요한 지수함수로 “자연지수함수”가 있다. 밑이 상수 e, 즉 자연로그의 밑인 지수함수이다. e는 무리수, 즉 소수점 아래가 순환하지 않고 끝없이 이어지는 수이므로 정확한 값을 소수로 다 쓸 수 없다. 근삿값은 e = 2.718 281 828…이다. 이 함수는 흔히 exp로 나타낸다.

또 하나 중요한 지수함수는 밑이 10인 지수함수, 즉 a = 10인 지수함수 y = 10^x이다.

a의 값에 따른 함수의 모양

지수함수는 밑의 값에 따라 두 가지 기본 모양이 있다. 두 구간 (0, 1)과 (1, ∞)를 구별한다. a가 첫 번째 구간에 있으면, 즉 1보다 작으면 함수는 감소한다. 두 번째 구간에 있으면 증가한다. 물론 이유가 있다. 예를 들어 $a=\frac{1}{2}$, 즉 함수 $f(x)={\frac{1}{2}}^x$을 생각해 보자. x에 차례로 2, 3, 4를 넣으면 어떻게 될까? 함숫값은 점점 작아진다. $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$이고, $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$로 $\frac{1}{8}$과 같다. f(4)는 8분의 1의 절반, 즉 $\frac{1}{16}$이다. 밑이 1보다 작으므로 점점 더 작은 수를 얻는다. 1보다 작은 수를 곱하면 언제나 더 작은 수가 된다.

반대로 a>1이면 곱한 결과는 더 큰 수가 된다. 지수함수 f(x) = 3^x에서 2, 3, 4를 넣으면 다음과 같다. f(2) = 3² = 3 · 3 = 9이다. 3을 넣으면 f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27이다. 또 f(4) = 81이다. 따라서 이 함수는 증가한다. 밑이 1보다 큰 다른 어떤 수여도 함수는 증가한다는 점에 주목하자.

그래서 밑 a의 값에 따라 그래프도 두 가지로 나누어 보아야 한다.

지수함수의 그래프

앞 절에서 보았듯이 그래프는 밑 a의 값에 따라 두 가지 기본 모양이 있다. 먼저 a가 구간 (0, 1)에 있을 때의 그래프를 보자.

함수는 감소하고 점 (0, 1)을 지난다. 이것은 우연이 아니다. 거듭제곱의 성질에서 어떤 수든 0제곱은 1이라는 것을 알고 있다. 즉 ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$ 등이다. 그래서 모든 지수함수의 그래프는 이 점을 지나야 한다. 다음 그림처럼 a>1인 지수함수의 그래프도 마찬가지이다.

지수함수의 성질

• 정의역은 실수 전체의 집합이다.
• 치역은 구간 (0, ∞)이다.
• 아래로 유계이고(a^x>0), 위로는 유계가 아니다.
• 최댓값도 최솟값도 없다.

함수의 증가와 감소는 a의 값에 따라 정해진다. a가 구간 (0, 1)에 있으면 함수는 감소한다. 구간 (1, ∞)에 있으면 증가한다.

지수적 증가

“지수적 증가”나 “기하급수적으로 늘어난다”는 말은 일상에서도 꽤 자주 쓴다. 보통 무언가가 아주 빠르게 늘어난다는 뜻이다. 대표적인 예가 박테리아의 분열이다. 어린이 만화에서처럼 나쁜 박테리아가 나타나 둘로 나뉘는 방식으로 불어난다고 하자. 이런 번식은 지수함수 f(x) = 2^x으로 나타낼 수 있다. 함숫값은 x번 분열한 뒤의 박테리아 수이다.

예를 들어 처음에는(분열 횟수 0, x = 0) 박테리아가 한 마리이므로 2⁰ = 1이다. 첫 번째 분열 뒤에는 2¹ = 2, 즉 두 마리이다. 맞다. 한 마리가 둘로 나뉜다. 이제 두 마리가 각각 둘로 나뉘므로 2² = 4, 즉 네 마리이다. 다시 각각 둘로 나뉘므로 세 번째 분열 뒤에는 2³ = 8마리이다. 이런 식으로 계속된다.

이런 번식은 그렇게 보이지 않아도 엄청나게 빠르다. 열 번째 분열 뒤에는 몇 마리일까? 2¹⁰ = 1024이다. 벌써 꽤 큰 수이다. 스무 번 분열하면 2²⁰ = 1,048,576이다. 서른 번 분열하면 10억 마리가 넘는다.

이 속도는 보통의 이차함수보다 훨씬 빠르다. 지수함수 f(x) = 2^x과 이차함수 g(x) = x²의 속도를 비교하면 지수함수가 압도적으로 이긴다. 함수 f의 x = 20에서의 값은 이미 알고 있는데, 이차함수 g의 x = 20에서의 값은 g(20) = 20² = 400이다. 이는 1,048,576보다 훨씬 작다.