우함수와 기함수

함수가 우함수인지 기함수인지 판단할 수 있다. 드물게는 우함수이면서 기함수일 수도 있지만, 대부분은 우함수도 기함수도 아니다.

우함수

함수가 다음 간단한 규칙을 만족하면 우함수이다. 함수에 x를 넣었을 때와 부호를 바꾼 −x를 넣었을 때 같은 값이 나와야 한다. 대표적인 우함수는 f(x) = x²이다. 이 함수에 6과 −6을 넣으면 f(6) = 36, f(−6) = 36을 얻는다. 넣은 값의 부호만 달랐으므로 결과는 같다.

정식으로 정의하면 다음과 같다. 함수 f가 우함수이면 다음을 만족해야 한다.

$$\mathrm{\forall }x\in D(f):f(x)=f(-x)$$

정의역의 모든 x에 대하여, 함수에 부호를 바꾼 −x를 넣어도 함숫값이 같아야 한다는 뜻이다.

우함수는 그래프에서 어떻게 나타날까? 함수에 x와 −x를 넣으면 같은 y를 얻는다. 생각해 보면 x와 −x는 x축에서 원점으로부터 같은 거리에 있고, y좌표가 같다. 따라서 우함수의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다. 예를 들어 함수 x²의 그래프는 다음과 같다.

잘 알려진 함수 가운데 우함수는 코사인, 그리고 a가 짝수일 때 f(x) = x^a 꼴의 함수이다. 원래 기함수인 함수도 절댓값을 씌우면 우함수가 된다. 예를 들어 f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|이다.

기함수

기함수는 우함수와 비슷한 규칙을 만족해야 한다. 함수 f가 다음 규칙을 만족하면 기함수이다.

$$\mathrm{\forall }x\in D(f):f(-x)=-f(x)$$

즉 점 (a, b)가 기함수의 그래프 위에 있으면 두 좌표의 부호를 바꾼 점 (−a, −b)도 그래프 위에 있어야 한다. 기함수의 예로 함수 f(x) = x³이 있다. x에 2를 대입하면 다음을 얻는다.

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

다른 쪽 식에서는 다음을 얻는다.

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

그래프에서는 어떻게 나타날까? 점 (a, b)와 (−a, −b)가 모두 그래프 위에 있다면? 직접 그려 보면 이런 그래프는 좌표평면의 원점, 즉 점 (0, 0)에 대하여 대칭이라는 것을 알 수 있다. 다음 그림은 함수 f(x) = x³의 그래프이다.

잘 알려진 함수 가운데 기함수는 a가 홀수일 때 f(x) = x^a, a가 임의의 실수일 때 f(x) = ax(즉 상수항이 없는 일차함수)이다. 또 f(x) = a/x와 사인도 기함수이다.

우함수인지 확인하기

함수가 우함수인지 어떻게 확인할까? 정의에 따라 확인해야 한다. 예를 들어 잘 아는 함수 f(x) = x²을 정의로 확인해 보자. 정의에 따르면 f(x) = f(−x)이다. 이 함수가 우함수라면 다음을 만족해야 한다.

$$x^2=(-x{)}^2$$

−x의 제곱은 거듭제곱의 계산 법칙에 따라 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

−1의 제곱은 1이므로 다시 x²이 된다.

$$x^2=1\cdot x^2$$

다음 함수는 우함수일까?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

정의에 대입한다.

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

절댓값을 분수 전체에 씌우는 대신 분자와 분모에 따로 씌우도록 이 분수들을 바꾸어 쓸 수 있다.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

절댓값의 정의에 따라 분명히 |x| = |−x|이므로 두 번째 분수의 분모를 바꾼다.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

이제 등식이 성립한다.

기함수인지 확인하기

함수가 기함수인지 어떻게 확인할까? 이번에도 정의에 따라 확인한다. 정의에 따르면 함수 f는 다음을 만족하면 기함수이다.

$$f(-x)=-f(x)$$

함수 f(x) = x³부터 시작하자. 정의에 대입한다.

$$(-x{)}^3=-x^3$$

좌변은 앞의 예처럼 풀어 쓸 수 있다.

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

−1의 세제곱은 −1이다.

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

따라서 등식이 성립한다.

$$-x^3=-x^3$$

이 함수는 기함수이다.

다음 함수는 기함수일까?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

정의에 대입한다.

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

정리할 것은 별로 없다. 첫 번째 분수의 마이너스 부호를 분수 앞으로 꺼내기만 하면 등식이 성립한다.

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

이 함수는 기함수이다.

우함수도 기함수도 아닌 함수

함수는 우함수도 기함수도 아닐 수 있다. 사실 대부분의 함수가 그렇다. 예를 들어 일차함수 f(x) = x + 1을 보자. 우함수의 정의에 대입해 보자.

$$x+1=-x+1$$

x에 대해 정리한다.

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

이 등식은 모든 x가 아니라 일부 x에 대해서만 성립하므로 이 함수는 우함수가 아니다. 이번에는 기함수인지 확인한다.

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

이 방정식은 해가 전혀 없으므로 이 함수는 기함수가 아니다.

우함수이면서 기함수인 함수

우함수이면서 동시에 기함수인 함수가 있을까? y축에 대하여 대칭이면서 원점에 대하여도 대칭인 그래프가 있을까? 답은 그렇다는 것이다. 우함수이면서 기함수인 함수는 단 하나뿐이며, 바로 상수함수 f(x) = 0이다. 이 함수의 그래프는 x축과 정확히 겹친다.

참고: 사실 이런 함수는 무수히 많다. 같은 식을 가지면서 정의역만 다른 함수 g(x)를 정의할 수 있기 때문이다. 예를 들어 정의역이 자연수뿐인 함수 g(x) = 0을 생각할 수 있다. 이 함수는 실수에서 정의된 함수 f(x)와 다른 함수이다. 하지만 식은 언제나 같다.

함수의 합과 곱

우함수나 기함수인 두 함수를 더하거나 곱하면 흥미로운 결과가 나온다. 예를 들어 두 우함수의 합은 다시 우함수이다. 이런 규칙과 조합은 여러 가지가 있다.