함수란 무엇인가

함수는 수학에서 아주 중요한 개념이므로 완전히 이해해 두어야 한다. 수학은 함수로 가득 차 있고, 초등학교 때부터 알던 기호 가운데 많은 것이 사실은 함수이다.

함수에 빗대어 보기

커피 자판기를 본 적이 있을 것이다. 자판기의 특징은 무엇일까? 동전을 넣으면 커피가 나온다는 것이다. 동전을 더 많이 넣으면 더 좋은 커피가 나온다.

함수는 이런 수학의 커피 자판기이다. 함수에 어떤 입력(동전)을 넣으면 함수는 어떤 출력(커피)을 내놓는다. 이것이 함수의 기본 원리 전부이다.

함수가 하는 일은 어떤 입력, 즉 어떤 수를 받아 그 수를 안에서 어떻게든 처리해 바꾼 다음, 그 새로운 수를 출력으로 내놓는 것이다.

기본 용어

모든 함수에는 그 함수를 가리키는 이름이 있다. 함수의 이름으로 가장 흔히 쓰는 것은 문자 “f”이다. 함수에는 함수가 어떻게 작동할지, 즉 자판기가 커피를 어떻게 만들지 정하는 규칙이 필요하다. 처음에는 함수를 두 열로 된 표로 생각해도 된다. 첫째 열은 입력(자판기라면 넣은 동전의 금액), 둘째 열은 함수의 출력(커피)이다.

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{입력}& \text{출력}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

출력은 언제나 입력의 두 배이지만, 꼭 그래야 하는 것은 아니다. 다음과 같은 표도 있을 수 있다.

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{입력}& \text{출력}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

하지만 처음에는 첫 번째의 규칙적인 표로 충분하다. 이 표가 함수 f를 정의한다고 할 수 있다. 함수는 무엇을 할까? 함수에 어떤 입력을 넣으면 함수는 표의 첫째 열에서 그 입력을 찾아 같은 줄의 출력을 내놓는다. 수 3에 대한 함수의 출력을 구한다면 다음과 같이 쓴다.

$$f(3)=6$$

입력이 3인 줄을 찾았더니 같은 줄의 출력이 6이었다. 또 f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8, f(5) = 10이다. 수가 몇 개뿐이면 함수를 표로 나타내는 것이 보기 쉬울 수도 있지만, 수가 많으면 아주 불편하다. 그래서 다른 표기 방법이 필요하다. 함수의 식으로 나타낼 수 있다. 앞의 표에서는 출력이 입력의 두 배였다. 이것을 함수의 식으로 쓰면 다음과 같다.

$$f(x)=2\cdot x$$

이것은 간단한 일차함수인데, 지금은 중요하지 않다. 이 식은 무엇을 말할까? 문자 f는 함수의 이름이다. 이것은 이미 알고 있다. 괄호 안의 식, 즉 문자 x는 함수의 변수이다. 자판기에 빗대면 “넣은 동전의 금액”에 해당한다. 함수의 변수는 넣은 값이 담기는 자리이다. 자판기(함수)에 500원을 넣었다면 함수에서는 x = 500이다. 그다음은 자판기나 함수가 이 값으로 알아서 일을 한다.

다음에 등호가 있고, 등호 뒤에 값 x로 무엇을 할지 정하는 식이 있다. 이 함수는 넣은 값 x에 2를 곱한다. 그것이 전부이다.

함수의 다른 예

등호의 오른쪽에는 사실상 어떤 수학 식이든 올 수 있다. 다른 함수가 와도 되고, 정의를 더 정확하게 하는 조건이 와도 된다. 예를 들어 함수를 말로 “입력이 짝수이면 0을, 홀수이면 1을 내놓아라”라고 정의할 수도 있다. 이 함수는 1과 0만 내놓지만 그래도 함수이다.

중요한 것은 함수를 거의 어떤 방식으로든 정의할 수 있다는 점이다. 물론 함수에도 규칙이 있지만 지금은 그리 중요하지 않다. 그중 하나는 바로 다음 절에서 다룬다. 함수의 정의는 언뜻 보아 의미가 없어도 되고, 어떤 질서가 없어도 된다. 함수가 입력이 7일 때만 빼고 언제나 두 배를 내놓을 수도 있다. 7일 때는 9를 내놓는 것이다. 별 의미가 없어 보이지만 이것도 함수이다.

수학 밖에서 하는 많은 일도 함수라고 부를 수 있다. 예를 들어 “매머드”라는 단어의 글자 수를 센다면, “단어의 길이”라는 함수에 “매머드”라는 단어를 넣은 것이라고 할 수 있다. 함수는 글자를 세어 출력으로 수 3을 내놓았다.

대출이나 주택담보대출에서 내야 할 복리 이자를 구해야 할까? 이것도 함수로 할 수 있다. 예를 들어 10년 뒤의 이자를 계산하도록 함수를 정의하면 된다. 자동차가 남은 휘발유로 몇 km를 더 갈 수 있는지 알아야 할까? 함수를 정의하자! 자동차가 휘발유 1 L로 평균 11 km를 간다면, 앞으로 갈 수 있는 거리를 구하는 함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$\text{거리}(x)=11\cdot x$$

휘발유가 17 L만 남았다면 다음과 같이 함수에 넣어 거리를 구한다.

$$\text{거리}(17)=11\cdot 17=187$$

한마디로 함수는 어떤 입력에 대해 어떤 수를 내놓는 모든 것이다. 서울에서 어떤 도시까지의 직선거리를 내놓아라, 주어진 앨범에서 가장 긴 노래의 길이를 내놓아라, 주어진 사람의 머리카락 수를 내놓아라, 주어진 동물의 다리 수를 내놓아라 등이 모두 함수이다.

함수의 기본 성질

표로 돌아가서, 함수에서 아주 중요한 조건은 입력이 있는 첫째 열에 같은 값이 두 번 나오면 안 된다는 것이다. 표가 다음과 같다면

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{입력}& \text{출력}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… 함수에 1을 넣었을 때 무엇을 내놓아야 할지 말할 수 없다.

$$f(1)=?$$

함수는 분명하게 정의되어야 하며, 같은 입력에 대해 서로 다른 두 결과를 내놓을 수 없다. 그럴 수는 없다. 함수는 같은 입력에 대해 언제나 같은 출력을 내놓아야 한다. 이 조건은 둘째 열, 즉 출력에는 해당하지 않는다는 점에 주의하자. 출력은 같아도 상관없다. 다음 표는 올바른 함수이다.

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{입력}& \text{출력}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

함숫값 구하기

함수의 각 부분을 무엇이라고 하는지, 함수를 어떻게 정의하는지 대략 알았다. 이제 함숫값을 구하는 과정을 단계별로 설명해 보자. 함수 f(x) = 2x가 있다. 이 함수에 3을 넣으면 어떻게 될까? 함수에 3을 넣는다는 것은 함수의 변수에 수 3을 대입한다는 뜻이다. 함수에 넣는 값이 3이므로 모든 x에 3을 대입한다.

$$f(3)=2\cdot 3$$

앞의 표에서처럼 함수가 6을 내놓는다는 것을 알 수 있다. 표는 수 다섯 개뿐이었지만 새로운 정의로는 다른 수도 다룰 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

이처럼 변수 x에 구체적인 값을 대입하는 것을 함숫값을 구한다고 한다. 그래서 “함수 f에 5를 넣는다”고 하면 f(5)의 값을 구한다는 뜻이고, 이 경우 f(5) = 2 · 5 = 10이다.

기억할 용어가 두 개 더 있다. 함수에 넣는 것, 즉 x에 대입하는 수를 x의 값이라고 한다. 조금 헷갈릴 수 있지만, 함수 f(x)에 3을 넣어 f(3)을 구할 때 x는 함수의 변수이고 3은 x의 값이다. x의 값은 함수에 실제로 넣는 그 수이다. 변수는 함수를 정의할 때 쓴 원래의 문자이다. 기술적인 세부 사항에 가깝다.

또 하나의 용어는 함숫값으로, 함수가 출력으로 내놓는 값이다. 앞의 함수는 3을 넣었을 때 6을 내놓았다. 따라서 이 경우 6이 함숫값이다. 문장으로 말하면 “함수 f의 3에서의 함숫값은 6이다”가 된다. 여기서 “에서” 앞에 오는 것은 보통 x의 값이다.

일상의 수학에 나오는 함수

일상의 수학에는 아주 특별한 방식으로 쓰는 함수가 많아서, 함수처럼 보이지도 않는다. 예를 들어 절댓값은 함수일 뿐이다. 어떤 수를 받아서 그 수를 그대로 또는 부호를 바꾸어 내놓는다.

제곱근 기호 $\sqrt{}$는 분명히 알 것이다. 이것도 함수이다. 어떤 값을 받아서 그 제곱근을 내놓는다. 마찬가지로 제곱 x²도 함수이다. 수를 받아서 그 수의 제곱을 내놓는다.

이런 신기해 보이는 기호의 대부분이 사실은 보통의 함수일 뿐이라는 것을 알아 두는 것이 꽤 중요하다. 기호 $\sqrt{}$를 이상하게 구부러진 모양으로 보지 말고 함수로 보자.

특히 처음 배우는 사람은 수학 기호가 잔뜩 들어 있는 식을 보면 무엇부터 해야 할지 몰라 당황하기 쉬운데, 사실 그것은 몇 개의 합성함수일 뿐이다. 다음 예를 보자.

$$\sqrt{|x^2|}!$$

수학을 잘 모르는 사람은 이것을 보고 고개를 갸웃하며 무엇을 해야 할지 잘 모를 것이다. 하지만 이 식에는 변수 x에 차례로 적용되는 꽤 간단한 함수 네 개가 들어 있을 뿐이다. 이름을 붙이고 함수를 겹쳐 쓰면 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

$$\text{팩토리얼}(\text{제곱근}(\text{절댓값}(\text{제곱}(x))))$$

더 길지만, 기호에 익숙하지 않은 사람에게는 더 알기 쉬울 것이다. 또 함수를 어떤 순서로 적용하는지도 아주 분명하다.

함수 표기의 정리

함수에는 이름이 있는데, 이름은 사실상 무엇이든 될 수 있다. 일반적인 함수에는 흔히 f라는 이름을 붙인다. 모든 함수에는 정해진 개수의 변수가 있고, 이름 뒤의 둥근 괄호 안에 쓴다. 함수 f의 변수가 두 개라면 f(x, y)나 f(a, b)처럼 쓴다. 변수 이름은 일반적으로 중요하지 않다.

자주 쓰는 함수 가운데에는 고유한 기호가 있는 것도 있다. 예를 들어 제곱근의 기호는 $\sqrt{}$이다. 또 sin이나 sin(x)는 사인 함수, |x|는 절댓값 함수, x!은 팩토리얼 함수이다.

변수가 하나인 함수는 괄호를 생략하기도 하는데, 그러면 식이 보기 쉬워질 때도 있고 그렇지 않을 때도 있다. 즉 sin(x)와 sin x는 모두 사인 함수의 올바른 표기이다.

함수의 변수라고 하면 표기 f(x)의 문자 x를 말한다. x의 값은 함수에 넣는 값, 즉 x에 대입하는 값이다. 두 개념을 섞어 쓰는 경우도 많다. 함숫값은 함수에 값을 넣어서 얻는 값이다. 간단히 함수 이름 뒤 괄호 안에 x의 값을 쓴다. 함수 f(x) = 2x의 변수 x에 x = 4를 넣으면, 함수에 x = 4를 넣었다고 말하고 함숫값 f(4)는 8이다.