함수의 정의역

함수의 정의역은 함수 f(x)가 의미를 갖도록 변수 x에 넣을 수 있는 모든 값의 집합이다.

함수의 정의역이란

간단한 예로 함수 f(x) = 1/x를 보자. 정의역은 함수 1/x에 넣었을 때 의미 있는 식이 되는 모든 값의 집합이다.

“의미 있는 식”이 무엇인지 알려면 함수와 연산의 성질을 알아야 한다. 이 함수에서는 변수 x로 나누므로 변수 x가 분수의 분모에 있다. 어떤 수로 나눌 수 있을까? 0을 빼고는 모든 수로 나눌 수 있다. 0으로는 나눌 수 없으므로 분수의 분모에 0이 올 수 없다. 나눗셈에 다른 제한은 없다.

그래서 x에는 0을 뺀 모든 실수를 넣을 수 있다. 따라서 정의역은 D(f) = ℝ ∖ {0}이다. 이 글에서는 정의역을 문자 D와 괄호 안의 함수 이름으로 나타낸다(한국 교과서에서는 기호 없이 “정의역은 …”이라고 쓰는 경우가 많다).

지금 구한 것은 가장 큰 정의역이다. 그런데 정의역을 x에 넣을 수 있는 값의 집합으로 정의했으므로, 정의역의 부분집합도 다시 정의역이 될 수 있다. 함수를 어떤 x에서만 생각하는 것이 편할 때도 있다. 예를 들어 수열에서는 자연수만 다루고, 삼각함수에서는 구간 [0, 2π]만 생각하는 경우가 많다.

하지만 함수의 정의역을 구하라는 문제가 나오면 보통은 가능한 가장 큰 정의역을 구하라는 뜻이다.

정의역은 함수의 그래프에서도 읽을 수 있다. 예로 앞의 함수 f(x) = 1/x의 그래프를 보자.

그래프를 x축에 비추면 정의역을 얻는다. 점 x가 정의역의 원소가 아니면, 그 점에서 x축에 수직인 직선을 그었을 때 그래프와 만나지 않는다. 이 조건을 만족하는 것은 0뿐이다. 0은 “위에도 아래에도” 그래프의 점이 없다. 다른 모든 점에는 있다.

정의역 구하기

합성함수의 정의역을 구하려면 합성함수를 이루는 모든 함수의 정의역을 알아야 한다. 그렇지 않으면 구할 수 없다. 함수 f(x) = 가(x) + 나(x)의 정의역을 구하라고 하면 구할 수 없다. 함수 가와 나가 어떻게 정의되는지 모르기 때문이다. 몇 가지 기본 함수의 정의역을 보자.

• 로그는 D(f) = (0, ∞)이다.
• 제곱근은 D(f) = [0, ∞)이다.
• 탄젠트는 D(f) = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ이다.
• 코탄젠트는 D(f) = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ이다.
• 지수함수는 D(f) = ℝ이다.
• 일차함수와 이차함수는 D(f) = ℝ이다.

함수가 하나뿐이면 아주 간단하다. 그 함수의 정의역을 확인하고, 함수 안에 들어 있는 식을 보고 알맞은 (부)등식을 세우면 된다. 예를 들어 함수 log(3x + 2)의 정의역을 구하시오. 로그의 진수는 양수여야 하므로 3x + 2 > 0이 성립해야 한다. 이것은 일차부등식이므로 쉽게 풀 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

정의역은 이 부등식을 만족하는 모든 x이므로 D(f) = (−2/3, ∞)이다.

$\sqrt{2x+8}$의 정의역을 구하시오.

근호 안은 음수가 될 수 없으므로 부등식 2x + 8 ≥ 0을 푼다. 그러면 다음 결과를 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

따라서 D(f) = [−4, ∞)이다.

1/x²의 정의역을 구하시오.

분모는 0이 될 수 없으므로 x² ≠ 0을 푼다. 이것은 x ≠ 0일 때 성립하므로 D(f) = ℝ ∖ {0}이다.

합성함수의 분해

합성함수에서는 조금 더 복잡하다. 서로 영향을 주며 정의역을 차례로 좁히는 여러 함수를 함께 생각해야 하기 때문이다. 다음 예를 보자.

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

여기서는 두 조건이 성립해야 한다. 근호 안의 식은 0 이상이어야 하고 음수가 될 수 없다. 그래서 x ≥ 0이다. 그런데 제곱근이 분수의 분모에 있으므로 제곱근의 값이 0이 되어서도 안 된다. 그러면 분수가 의미를 잃는다. 그래서 앞의 조건을 더 강하게 해서 x > 0이 된다.

다른 예도 같은 방법으로 푼다. 다만 함수가 어떤 순서로 겹쳐 있는지, 즉 어느 함수가 안쪽 함수이고 어느 함수가 바깥 함수인지 정해야 한다. 앞의 예에서는 분명했다. 안쪽 함수는 제곱근이고 바깥 함수는 분수였다. 이 식을 손으로 계산한다면 먼저 $\sqrt{x}$를 구하고 그다음 분수를 계산할 것이다. 좋은 요령이다. 가장 안쪽 함수는 손으로 계산할 때 가장 먼저 계산하는 함수이다. 다른 예를 보자.

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\text{tan}(x)){)}^3}$$

이번에는 반대로 바깥 함수부터 찾아보자. 바깥 함수는 안쪽 함수를 “감싼다”. 여기서는 분명히 다섯제곱근이 나머지 함수를 모두 감싼다. 다음으로 세제곱이 로그의 결과를 감싸고, 로그가 탄젠트를 감싸며, 마지막으로 탄젠트가 변수 x를 감싼다. 간단하다. 앞의 방법으로 생각하면 다음과 같다. x의 값을 알 때 가장 먼저 탄젠트를 계산한다. 따라서 탄젠트가 가장 안쪽 함수이다. 그 결과로 로그를 계산하므로 로그는 두 번째로 안쪽 함수이다. 그 결과를 세제곱하고 마지막으로 다섯제곱근을 구한다.

다음 합성함수를 분해하시오.

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

바깥 함수부터 시작한다. 가장 바깥은 사인이다. 다음은 분수, 그다음은 로그, 그다음은 지수함수(치환 10^a을 떠올리자), 마지막은 일차함수 2x + 3이다.

다음 합성함수를 분해하시오.

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

바깥 함수는 지수함수 2^a이다. 다음은 분수, 그다음은 분모에 있는 제곱근, 마지막은 일차함수 3x이다.

합성함수의 정의역

함수를 바깥 함수와 안쪽 함수로 나눌 수 있다면 정의역을 구하는 것은 어렵지 않다. 바로 예로 보자.

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

분수부터 시작한다. 분수에서는 분모가 0이 아니어야 한다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

사인 함수의 성질에서 사인은 x = π/2에서 값 1을 갖는다는 것을 알고 있다. 사인은 주기함수이므로 집합 M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ를 얻는다. 이것은 분모를 0으로 만드는 값의 집합이다. 이 x들은 함수에 넣을 수 없다.

이것으로 끝이 아니다. 사인 함수의 정의역도 확인해야 한다. 다행히 사인의 정의역은 ℝ이므로 제한이 없다. 제한은 분수의 분모에서만 생긴다. 따라서 D(f) = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ이다.