유리함수 (일차분수함수)

여기서 다루는 유리함수는 분자와 분모가 모두 일차식인 함수이다.

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

가장 간단한 유리함수는 $y=\frac{k}{x}$이다. 중학교에서 비례식의 반비례로 본 적이 있을 것이다. 서울에서 인천까지는 대략 30 km이다. 시속 30 km로 달리면 한 시간, 시속 60 km로 달리면 30분이 걸리고, 시속 15 km로 자전거를 타면 두 시간 만에 도착한다. 속력이 두 배이면 시간은 절반이다. 따라서 걸리는 시간(시간 단위)은 다음과 같다.

$$t=\frac{30}{v},$$

여기서 v는 시속(km/h)이다. 즉 이 식은 k = 30인 함수 $y=\frac{k}{x}$이다.

유리함수의 그래프는 쌍곡선이고, 그중에서도 두 점근선이 서로 수직인 직각쌍곡선이다. 쌍곡선 글의 그림과 달리, 이 그래프는 비스듬히 교차하는 두 직선이 아니라 수평인 직선과 수직인 직선에 가까워지도록 돌려 놓은 모양이다. 예를 들어 함수 $y=\frac{x-1}{x-2}$의 그래프는 다음과 같고, 점근선은 파란 점선인 직선 x = 2와 y = 1이다.

이 식에는 두 조건 c ≠ 0과 ad − bc ≠ 0이 따른다. c = 0이면 분모에 x가 없으므로 보통의 일차함수가 된다. ad − bc = 0이면 분자가 분모의 상수배이므로 약분하면 상수함수만 남는다.

함수 k/x

먼저 함수 $y=\frac{k}{x}$를 보자. 0으로는 나눌 수 없으므로 x에 0을 대입할 수 없다. 따라서 정의역은 D(f) = ℝ ∖ {0}이다(정의역을 D(f), 치역을 H(f)로 나타낸다). 또 결과로 0이 나오는 일도 없다. 분자가 0이 아닌 분수는 0이 될 수 없기 때문이다. 그래서 치역도 H(f) = ℝ ∖ {0}이다.

함수 $y=\frac{2}{x}$에 몇 가지 수를 넣어 보자. x = 1이면 y = 2, x = 2이면 y = 1, x = 4이면 $y=\frac{1}{2}$뿐이다. x가 클수록 그래프는 x축에 더 가까이 붙지만 결코 닿지는 않는다. 반대로 x가 0에 가까울수록 y는 커진다. $x=\frac{1}{10}$이면 y = 20이다. 즉 그래프는 y축을 따라 위로 치솟는다. x가 음수일 때도 부호만 반대일 뿐 똑같다.

그림의 빨간 곡선은 함수 $y=\frac{2}{x}$, 파란 곡선은 함수 $y=-\frac{2}{x}$의 그래프이다. 주황색 점은 방금 계산한 값이다. 그래프의 위치는 k의 부호로 정해진다.

• k>0이면 쌍곡선은 제1사분면과 제3사분면에 있다.
• k<0이면 제2사분면과 제4사분면에 있다.

그래프가 가까워지는 x축과 y축을 점근선이라고 한다.

이제 거의 모든 사람이 빠지는 함정을 조심하자. 함수 $y=\frac{2}{x}$는 감소함수가 아닐까? 빨간 곡선의 두 부분은 각각 정말로 감소한다. 그런데 x₁ = −1과 x₂ = 1을 생각해 보자. x₁<x₂인데 f(−1) = −2는 f(1) = 2보다 작다. 따라서 이 함수는 D(f) 전체에서 감소하지 않는다. 구간 (−∞, 0)에서 따로, 구간 (0, ∞)에서 따로 감소할 뿐이다. ℝ ∖ {0}에서 감소한다고 쓰면 틀린다.

평행이동한 그래프와 일반형의 변형

함수 $y=\frac{k}{x}$의 그래프는 이차함수의 포물선처럼 평행이동할 수 있다. 함수

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

의 그래프는 $y=\frac{k}{x}$의 그래프를 오른쪽으로 m만큼, 위로 n만큼 평행이동한 것이다. 부호에 주의하자. 분모가 x − m이므로 $\frac{k}{x-3}$는 왼쪽이 아니라 오른쪽으로 3만큼 이동한다. 그래프와 함께 점근선도 이동하므로 점근선은 이제 축이 아니라 직선 x = m과 y = n이다. 수직점근선은 분모가 0이 되는 곳에 있다. x가 m에 가까워지면 분모는 아주 작아지고 분수는 아주 커지므로 그래프는 위나 아래로 치닫는다. 수평점근선은 x가 양쪽으로 0에서 아주 멀어질 때 함숫값이 가까워지는 곳에 있다. 이때 분수 $\frac{k}{x-m}$는 거의 0이 되므로 n만 남는다.

(한국 교과서에서는 이 꼴을 보통 $y=\frac{k}{x-p}+q$로 쓴다.)

그런데 일반형 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$는 보통 이 꼴로 주어지지 않는다. 다음 함수를 바꾸어 보자.

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

분모가 x − 1이므로 분자에도 같은 식을 만들어 보자. x − 1의 2배는 2x − 2이고, 여기서 분자 2x + 1을 얻으려면 3을 더해야 한다.

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

분수에 대입한다.

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

분수를 두 분수의 합으로 나눈다.

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

첫 번째 분수를 x − 1로 약분한다.

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

다항식의 나눗셈으로도 같은 결과를 얻는다. $(2x+1)÷(x-1)$을 계산하면 몫이 2이고 나머지가 3이다. 결과에서 m = 1, n = 2, k = 3임을 쉽게 읽을 수 있다. 점근선은 직선 x = 1과 y = 2이다. k가 양수이므로 그래프는 $y=\frac{2}{x}$처럼 점근선을 기준으로 오른쪽 위와 왼쪽 아래에 있다.

정의역은 분모로 알 수 있다. 분모는 0이 아니어야 하므로 x ≠ 1이다. 한편 분수 $\frac{3}{x-1}$은 0이 될 수 없으므로 함수는 값 2를 갖지 않는다.

$$D(f)=\mathbb{R}\setminus \{1\},H(f)=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

이제 축과의 교점이 남았다. x축과의 교점에서는 y = 0이고, 분수는 분자가 0일 때만 0이다.

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/÷2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

y축과의 교점은 x에 0을 대입해서 구한다.

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

그래프는 x축과 점 $(-\frac{1}{2},0)$에서, y축과 점 (0, −1)에서 만난다. 두 교점은 그림에 주황색으로, 점근선은 회색 점선으로 나타냈다.

변형한 식으로 구해도 y축과의 교점이 같다는 것을 확인하자. $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$이다. 맞다.