일차함수

일차함수는 a와 b가 실수일 때 식 y = ax + b로 주어지는 함수이다. a = 0이면 특별한 경우가 된다. 이때 식은 y = b로 줄어드는데, 이것은 상수함수이다(상수함수를 일차함수에 넣지 않는 책도 있다).

일차함수의 종류

일차함수의 그래프는 언제나 직선이어서 꽤 깔끔하다. 예를 들어 앞에서 말한 상수함수의 그래프는 x축에 평행하고 y절편이 b인 직선이다. b = 0이면 직선은 언제나 원점 (0, 0)을 지난다. 이런 함수를 정비례 관계라고도 한다.

일차함수의 다른 성질은 a에 따라 정해진다. a > 0이면 증가하는 함수의 그래프이고, a < 0이면 감소하는 함수의 그래프이다. 함수 y = ax의 그래프와 함수 y = −ax의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.

일차함수의 성질

a ≠ 0이면 일차함수의 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역도 마찬가지이다. 함수는 상수 a에 따라 증가하거나 감소한다. 일차함수의 그래프와 두 점 이상에서 만나는 수평선은 없으므로 일대일함수이다. 또 주기함수가 아니고, 정의역 전체에서 연속이며, 최댓값도 최솟값도 없다. 일차함수는 우함수도 기함수도 아니고, b = 0일 때만 기함수이다.

예제

함수 y = −3x +1의 그래프를 그리시오.

이 함수의 그래프는 쉽게 그릴 수 있다. 일차함수의 그래프는 언제나 직선이다(어떤 구간에서만 그래프를 그린다면 선분일 수도 있다). 이것만 알면 충분하다. 직선을 그리려면 두 점의 좌표만 알면 된다. 두 점을 구해 보자. 먼저 x에 가장 간단한 수인 0을 대입한다. f(0) = 1이 나온다. 직선이 지나는 첫 번째 점은 (0, 1)이다. 두 번째 점은 1을 대입해서 구해 보자. f(1) = −3 + 1 = −2를 얻는다. 두 번째 점의 좌표는 (1, −2)이다. 이제 이 함수의 그래프를 그리는 데 필요한 두 점을 모두 얻었다.