함수의 그래프 개형: 극값

함수의 극값은 함수가 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 가지는 점이다.

함수의 극값

극값에는 기본적으로 극소와 극대의 두 종류가 있다. 또 전체에서의 최댓값/최솟값과 부분적인 극댓값/극솟값을 구별한다. 최댓값을 가지는 점은 정의역의 모든 점 가운데 함수의 값이 가장 큰 점이다. 이 값을 가지는 점이 하나뿐이면 순최댓값이라고 한다. 예를 들어 서로 다른 두 직원이 월급으로 가장 많은 5,000만 원을 받을 수 있는 것처럼, 함수는 가장 큰 값을 여러 점에서 가질 수 있기 때문이다. 최솟값과 최댓값의 정의는 함수에 관한 글에 있다.

극솟값은 함수의 정의역의 일부, 보통 어떤 구간에서만 정의한다. 극대와 극소의 정의는 다음과 같다.

• 어떤 근방 U = (M − ϵ, M + ϵ)(ϵ > 0)이 있어서 모든 x ∈ U ∩ D(f)에 대해 f(x) ≤ f(M)이 성립하면, 함수 f는 점 M ∈ D(f)에서 극대이다.
• 어떤 근방 U = (m − ϵ, m + ϵ)(ϵ > 0)이 있어서 모든 x ∈ U ∩ D(f)에 대해 f(x) ≥ f(m)이 성립하면, 함수 f는 점 m ∈ D(f)에서 극소이다.

극값이 무한히 많은 함수의 예로 함수 f(x) = x · sin x가 있다.

그러면 왜 정의에 “모든 x ∈ U ∩ D(f)에 대해”, 즉 정의역과의 교집합이 있을까? 예를 들어 다음 그래프로 주어진 함수는…

…점 m = 1에서 극소이지만, 점 m = 1의 어떤 왼쪽 근방에서도 함수가 정의되어 있지 않다. 그래서 이 왼쪽 근방에서는 f(x) ≥ f(m)이 성립하지 않는다. 정의역과의 교집합을 구하면 오른쪽 근방만 남는다.

극값을 찾는 기본 원리

이제 함수 f(x) = x² + 1의 그래프와 접선 세 개로 돌아가자.

무엇보다 접선 c를 보자. 이 접선은 함수 x² + 1의 극소인 점에서 그래프에 닿고, 수평, 즉 x축에 평행하다. 그래서 x축의 양의 방향과 0°의 각을 “이룬다”. 함수를 뒤집어서 극소 대신 극대를 가지게 하면 어떻게 될까? 함수 −x² + 1의 그래프는 다음과 같다.

함수 −x² + 1의 극대인 점을 지나는 접선 c도 x축에 평행하다는 것에 주목하자. 여기서 규칙이 나온다. 함수의 극소나 극대를 찾으려면 x축에 평행한 접선, 즉 x축과 이루는 각의 탄젠트가 0인 접선을 찾는다. 앞의 그림에서 tan(0°) = 0임을 알 수 있다. 미분으로 말하면 미분계수가 0인 점, 즉 f′(x) = 0인 점을 찾는다.

익숙한 함수 f(x) = x² + 1의 극값을 미분으로 구해 보자. 함수 f의 도함수는 f′(x) = 2x이다. 다음으로 일계도함수가 0이 되는 곳을 찾는다. 즉 방정식 f′(x) = 0을 푼다. 대입하면 2x = 0이다. 이것은 x = 0일 때 자명하게 성립한다. 함수 f(x) = x² + 1이 점 x = 0에서 최솟값을 가진다는 것과 맞는다.

“규칙”의 예외

함수가 점 x에서 극값을 가질 필요충분조건은 그 점에서 미분계수가 0인 것이라고 말하고 싶어진다. 아쉽게도 사실이 아니다. 그렇게 간단하지 않다. 다음 예를 보자.

• 함수 f(x) = x³의 극값을 구해 보자. 이 함수의 일계도함수는 f′(x) = 3x²이다. 방정식 f′(x) = 0, 즉 3x² = 0을 푼다. 분명히 x = 0일 때 성립한다. 그런데 함수 x³은 점 x = 0에서 극값을 가질까? 그래프를 보자.

  

  점 x = 0에서는 극값이 없다. 최댓값이나 최솟값도, 극값도 없다. 그러면 왜 이 점에서 미분계수가 0이 나올까? 이 점에서 접선 t가 x축에 평행하기 때문이다. 다음 그림을 보자.

  

• 정다운 함수 f(x) = |x|, 즉 x의 절댓값은 어떨까? 그래프에서 점 x = 0에서 최솟값을 가진다는 것을 알 수 있다.

  

  그런데 이 함수는 점 x = 0에서 미분가능하지 않다! 점 x = 0에서 이 함수에는 접선이 없다. 접선이 어떤 모양일지 말하기 어렵기 때문이다.

따라서 다음이 성립한다.

• 함수 f가 점 x에서 극값, 즉 극소나 극대를 가지고, 이 점에서 미분계수가 존재한다면(!), 이 미분계수는 0이다. 함수가 점 x에서 극값을 가지면서 그 점에서 미분가능하지 않을 수도 있다.

• 점 x에서 함수 f의 미분계수가 0이면 이 점에서 극값을 가질 수도 있지만, 갖지 않을 수도 있다.

함수의 극값을 찾는 방법

정의역 전체에서 미분가능한 함수 f가 주어졌다고 하자. 첫 단계에서는 함수 f를 미분해서 함수 f′을 얻는다. 다음으로 일계도함수를 0과 같다고 놓는다. 즉 방정식 f′(x) = 0을 푼다. 이 방정식의 해는 극값이 될 “후보”인 점, 즉 정류점이다.

다음으로 이 정류점 가운데 어느 것이 극값인지 정해야 한다. 예를 들어 함수 f의 이계도함수로 알아낼 수 있다. s가 정류점, 즉 f′(s) = 0일 때, f′′(s) > 0이면 점 s에서 극소이고, f′′(s) < 0이면 점 s에서 극대이다.

이 점에서 이계도함수도 0이면 미분을 더 계속해야 한다. 이것은 뒤에서 다룬다. 이제 예를 보자. 함수 f(x) = 3x² + 6x가 있다. 이 함수의 극값을 구하시오.

일계도함수를 구하면 f′(x) = 6x + 6이다. 일계도함수를 0과 같다고 놓는다.

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

따라서 점 x = −1은 정류점, 즉 극값의 후보이다. 이계도함수를 구한다. 이계도함수는 함수 f′′(x) = 0x + 6이다. 점 x = −1을 대입하면 f′′(−1) = 6을 얻는다. 결과가 양수이므로 함수는 이 점에서 극소이다. 그래프는 다음과 같다.

이계도함수도 0이면?

함수 f(x) = x⁴의 극값을 찾아보자. 그래프는 다음과 같다.

이 함수의 일계도함수는 f′(x) = 4x³이다. 방정식 f′(x) = 0의 해는 당연히 정류점 s = 0 하나뿐이다. 이계도함수를 구하면 f′′(x) = 12x²이다. 이 이계도함수에 정류점 s를 대입하면 다음을 얻는다.

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

0이 나왔으므로 지금까지 말한 것으로는 이 점에서 극값이 있는지 알 수 없다. 하지만 그래프를 보면 이 점에서 극값이 있다. 이럴 때는 미분을 더 계속한다. 삼계도함수를 구해 정류점 s를 대입한다. 0이 아닌 수가 나오면 점 s는 이른바 변곡점이다(뒤에서 다룬다). 0이 나오면 미분을 더 계속한다. 사계도함수에서는 이계도함수와 똑같이 판단한다. 정류점을 대입해서 함숫값이 양수이면 극소, 음수이면 극대이다.

삼계도함수는 f′′′(x) = 24x이고, 대입하면 f′′′(0) = 0이므로 미분을 더 계속한다. 사계도함수는 f′′′′(x) = 24이다. 사계도함수는 언제나 양수이므로 이계도함수 때와 마찬가지로 함수가 점 s = 0에서 극소라고 이끌어 낼 수 있다. 실제로도 그렇다.

함수의 극값을 찾는 순서

1. 미분가능한 함수 f가 주어져 있다.

2. 함수 f를 미분한다.

3. 방정식 f′(x) = 0을 푼다. 방정식의 해인 모든 s를 정류점, 즉 극값의 후보라고 한다.

4. 이계도함수를 구한다.

5. 모든 정류점 s에서 이계도함수의 값을 구한다. f′′(s) > 0이면 함수는 점 s에서 극소이고, f′′(s) < 0이면 점 s에서 극대이다. f′′(s) = 0이면 미분을 더 계속한다.

   조언: 극대나 극소가 되려면 이계도함수가 양수여야 하는지 음수여야 하는지 외우기 싫다면, 예를 들어 함수 x²에서 이끌어 내면 된다. 이 함수의 그래프는 알 것이고, 일계도함수와 이계도함수도 간단하다. f′(x) = 2x이고 f′′(x) = 2이다. 이계도함수는 언제나 양수이고, 함수 x²은 점 x = 0에서 극소이다.

6. 삼계도함수를 구한다. f′′′(s) ≠ 0이면 점 s는 변곡점이고, 그렇지 않으면 미분을 더 계속한다.

7. 사계도함수를 구한다. f′′′′(s) ≠ 0이면 이 점에서 극값을 가진다. 그렇지 않으면 미분을 더 계속한다.

8. 이렇게 계속한다. 처음으로 0이 아닌 도함수가 홀수 번째 도함수이면 변곡점이고, 짝수 번째 도함수이면 극값이다.