단위원

단위원은 반지름이 1인 보통의 원이다. 단위원을 이용하면 삼각함수의 정의를 알기 쉽게 나타낼 수 있다.

단위원이란

단위원은 반지름의 길이가 1이고 중심이 좌표평면의 원점, 즉 점 (0, 0)에 있는 원이다. 다음 그림을 보자.

원은 네 부분으로 나뉘는데, 이것을 사분면이라고 한다. 오른쪽 위가 제1사분면, 왼쪽 위가 제2사분면, 왼쪽 아래가 제3사분면, 오른쪽 아래가 제4사분면이다. 이 원으로 각을 나타낼 것이므로 원 위에 각의 크기를 표시했다. 보통 0°인 곳에서 각의 한 변(시초선)이 시작하고, 동경은 시계 반대 방향으로 돈다. 그래서 점 (0, 1)에는 직각이 표시되어 있다.

원에서의 사인과 코사인의 정의

단위원에서는 삼각함수를 아주 알기 쉽게 나타낼 수 있다. 먼저 단위원에 어떤 각을 그리고, 단위원의 어디에서 각 함수의 값을 읽을 수 있는지 살펴보자.

원에 각 AOB(빨간색)를 그렸다. 이 각을 알파라고 하자. 각의 두 변은 단위원과 두 점 A와 B에서 만난다. 중요한 것은 점 B이다. 점 B를 지나고 x축에 평행한 직선(그림의 가로 점선)을 그으면 이 직선은 y축과 한 점에서 만난다. 이 점을 P_s라고 하자. 이때 선분 OP_s(초록색 선분)의 길이가 각 알파의 사인과 같다.

중심이 좌표평면의 원점에 있는 단위원이므로 선분 OP_s(초록색 선분)의 길이는 점 P_s의 y좌표와 같고, 이는 다시 점 B의 y좌표와 같다.

같은 원에서 코사인도 읽을 수 있다. 점 B를 지나고 y축에 평행한 직선을 긋는다. 이 직선은 x축과 한 점에서 만나는데, 이 점을 P_c라고 하자. 선분 OP_c의 길이는 각 알파의 코사인과 같다. 이번에도 이 값은 점 B와 P_c의 x좌표와 같다고 할 수 있다.

탄젠트와 코탄젠트의 정의

단위원에서 사인과 코사인을 정의한 것처럼 탄젠트와 코탄젠트도 정의할 수 있다. 알기 쉽도록 먼저 단위원의 어디에 탄젠트가 나타나는지 보자. 이를 위해 직선이 하나 더 필요하다. y축에 평행하고 점 A, 즉 점 (1, 0)을 지나는 직선이다. 다음 그림의 파란 직선이다.

이 직선은 반직선(각의 변) OB와 한 점에서 만나는데, 이 점을 P_t라고 하자. 선분 AP_t의 길이가 각 알파의 탄젠트와 같다. 이번에도 점 P_t의 y좌표만 보면 각 알파의 탄젠트를 얻는다.

단위원에서 코탄젠트를 나타내려면 직선이 하나 더 필요하다. 이번에는 점 (0, 1)을 지나고 x축에 평행한 직선이다. 역시 파란색으로 표시했다.

이 직선은 반직선(각의 변) OB와 한 점에서 만나는데, 이 점을 P_k라고 하자. 선분 CP_k의 길이가 각 알파의 코탄젠트와 같다. 언제나처럼 점 P_k의 x좌표만 보면 각의 코탄젠트를 얻는다.

그런데 탄젠트에서 각 알파가 90°보다 크거나, 코탄젠트에서 180°보다 크면 어떻게 될까? 이때는 다음 그림처럼 직선이 각의 변과 만나지 않는다.

이럴 때는 반직선 OB를 직선으로 늘인다. 그러면 이 직선은 직선 p와 만난다.

탄젠트도 마찬가지로 하면 된다.

탄젠트와 코탄젠트가 정의되지 않는 경우

단위원(원)에서 한 가지 흥미로운 점을 알 수 있다. 각 알파가 180°이면 직선 p와 각의 변은 평행하므로 절대 만나지 않는다. 이 문제는 어떻게 해결할까? 해결할 수 없다. 180°의 코탄젠트는 정의되지 않는다. 마찬가지로 90°의 탄젠트도 정의되지 않는다. 이 각의 변은 y축에 평행하므로, 만나야 할 직선과도 평행하기 때문이다. 다음 그림은 코탄젠트의 경우를 보여 준다.