교환법칙

교환법칙은 덧셈 같은 연산이 가지는 성질이다. 덧셈에서는 순서가 상관없다는 것을 알 수 있다. 그래서 3 + 5는 5 + 3과 같다. 어떤 두 실수를 더해 a + b를 만들든, 두 수의 순서를 바꾼 b + a와 결과가 같다. 어떤 연산이 이 조건을 만족하면 그 연산은 교환법칙이 성립한다고 한다.

교환법칙이 성립하는 또 다른 연산은 곱셈이다. 2 · 6과 6 · 2는 결과가 같고, 이는 어떤 두 수 a, b에 대해서도 마찬가지이다.

$$a\cdot b=b\cdot a$$

교환법칙이 성립하지 않는 연산의 예는 뺄셈이다. 7 − 4와 4 − 7은 다르다. 첫 번째 식의 결과는 3이고 두 번째 식의 결과는 −3이다. 나눗셈도 마찬가지이다. 2 / 5와 5 / 2는 다르다.

다만 연산의 다른 성질, 예를 들어 곱셈을 먼저 계산하는 규칙에 주의해야 한다. 1 + 2 · 3이라는 식이 2 + 1 · 3과 같다고 할 수는 없다. 곱셈은 덧셈보다 먼저 계산하기 때문이다. 괄호를 쓰면 이해하기 쉽다. 1 + 2 · 3은 1 + (2 · 3)과 같다. 덧셈의 교환법칙을 쓰고 싶다면 쓸 수 있지만, 괄호 전체를 함께 옮겨야 한다. 1 + (2 · 3)은 (2 · 3) + 1과 같고, 곱셈의 교환법칙까지 쓰면 이는 (3 · 2) + 1과 같다.

집합의 연산과 교환법칙

교환법칙은 수의 연산에만 있는 것이 아니다. 예를 들어 집합의 연산에도 있다. 집합 A와 B의 교집합을 구하는 연산은 교환법칙이 성립한다. 두 집합의 교집합은 “두 집합에 모두 속하는 원소”이므로 다음이 성립한다.

$$A\cap B=B\cap A$$

집합 A와 B의 합집합도 똑같다. 합집합은 “두 집합 중 적어도 하나에 속하는 원소”이므로 다음이 성립한다.

$$A\cup B=B\cup A$$

반면 차집합을 구하는 연산은 교환법칙이 성립하지 않는다.

벡터

교환법칙이 성립하는 연산은 벡터의 연산에서도 찾을 수 있다. 바로 벡터의 덧셈이다. 일반적으로 덧셈은 대부분 교환법칙이 성립한다. 두 벡터 $\overrightarrow{u}$와 $\overrightarrow{v}$가 있을 때 다음이 성립한다.

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

그림으로 나타내면 다음과 같다.

합 $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$는 “위쪽 길”이다. 먼저 빨간 벡터 $\overrightarrow{u}$를 따라가고 그다음에 파란 벡터 $\overrightarrow{v}$를 따라간다. 합 $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$는 “아래쪽 길”이다. 먼저 파란 벡터 $\overrightarrow{v}$를 따라가고 그다음에 빨간 벡터 $\overrightarrow{u}$를 따라간다. 그래도 결과는 같다. 두 경우 모두 같은 점에 도착한다.

어떤 곳에서 출발해 북쪽으로 50 m, 그다음 서쪽으로 20 m를 걸어간다고 생각해 보자. 먼저 서쪽으로 20 m, 그다음 북쪽으로 50 m를 걸어가도 같은 곳에 도착한다. 이렇게 걷는 것도 교환법칙이 성립한다.

논리

논리 연산자 “그리고”(논리곱)와 “또는”(논리합)도 교환법칙이 성립한다. 즉 명제 “5는 홀수이고 소수이다”는 명제 “5는 소수이고 홀수이다”와 참거짓이 같다. 논리합도 마찬가지이다. “6은 소수이거나 짝수이다”는 “6은 짝수이거나 소수이다”와 참거짓이 같다.

하지만 조건문(함의)은 교환법칙이 성립하지 않는다. “복권에 당첨되면 나는 부자가 된다”는 “내가 부자가 되면 복권에 당첨된다”와 같지 않다.