결합법칙

결합법칙은 덧셈이나 곱셈 같은 연산이 가지는 성질이다. 다음 두 덧셈 식을 보자.

$$(1+2)+31+(2+3)$$

두 식은 괄호의 위치만 다르다. 그러면 결과도 다를까? 두 식은 결과가 같다. 합은 어느 쪽이든 6이다. 괄호의 위치가 결과에 영향을 주지 않으면 그 연산은 결합법칙이 성립한다고 한다. 더 정확히 쓰면, 연산 a ∘ b에 대해 다음이 성립하면 결합법칙이 성립한다.

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

결합법칙이 성립하는 또 다른 연산은 곱셈이다. 다음이 성립하기 때문이다.

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

결합법칙이 성립하지 않는 연산

뺄셈은 결합법칙이 성립하지 않는다. 예로 (10 − 4) − 3을 보자. 먼저 괄호 안의 차를 계산하면 6 − 3이 되고, 이는 3이다. 그런데 10 − (4 − 3)을 계산하면, 역시 괄호 안부터 계산해서 10 − 1을 얻고, 이는 9이다. 따라서 뺄셈은 결합법칙이 성립하지 않는다.

나눗셈도 마찬가지로 결합법칙이 성립하지 않는다. 예로 (64 / 4) / 2를 보자. 먼저 괄호를 계산하면 16/2가 되고, 이는 8이다. 그런데 괄호를 다른 곳에 두어 64 / (4 / 2)로 만들면, 괄호를 계산한 뒤 64 / 2가 되고, 이는 32이다. 따라서 나눗셈은 결합법칙이 성립하지 않는다.

결합법칙이 성립하지 않는 연산의 또 다른 대표적인 예는 거듭제곱이다.

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

결합법칙은 한 가지 연산에 관한 것!

결합법칙은 언제나 한 가지 연산에 관한 것이라는 점에 주의하자. 세 수로 이루어진 식이라도 연산이 같지 않으면 결합법칙을 쓸 수 없다. 예를 들어 다음 식을 보자.

$$(1+2)\cdot 3$$

이 식에는 덧셈과 곱셈, 두 가지 연산이 있다. 두 연산은 각각 결합법칙이 성립하지만, 이 경우에는 결합법칙을 쓸 수 없다. 즉 이 식을 다음과 같이 바꿀 수 없다.

$$1+(2\cdot 3)$$

식에 서로 다른 두 연산이 있기 때문이다. 결합법칙을 쓰려면 두 연산이 모두 덧셈이거나 모두 곱셈이어야 한다.

교집합과 합집합

교집합을 구하는 연산은 결합법칙이 성립한다. 예를 들어 다음 식을 보자.

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

먼저 괄호 안의 교집합을 구하면 다음과 같다.

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

이 두 집합의 교집합은 {1}이다. 괄호의 위치를 바꾸면 다음 식을 얻는다.

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

괄호를 계산하면 다음과 같다.

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

이번에도 {1}을 얻는다. 괄호의 위치가 상관없으므로 교집합을 구하는 연산은 결합법칙이 성립한다. 합집합도 마찬가지로 결합법칙이 성립한다.

낱말 이어 붙이기(연결)

낱말 조각을 더하는 연산이 있고, 그 연산이 그냥 낱말을 이어 붙이는 것이라고 해 보자. 즉 “컴퓨” + “터”는 낱말 “컴퓨터”가 된다. 이 연산은 결합법칙이 성립한다. 예를 들어 (“해” + “바”) + “라기”라고 쓰면, 먼저 괄호를 더해 “해바” + “라기”를 얻고, 이는 낱말 “해바라기”가 된다. 괄호를 바꾸어 “해” + (“바” + “라기”)라고 쓰면, 괄호 안을 더해 “해” + “바라기”를 얻고, 이것도 낱말 “해바라기”가 된다.

최댓값과 최솟값의 결합법칙

두 수 가운데 큰 수를 돌려주는 연산 a ∨ b를 생각해 보자. 이 연산은 결합법칙이 성립한다. 예를 들어 (5 ∨ 10) ∨ 7은 10 ∨ 7이 되고, 이는 10이다. 10은 세 수 가운데 가장 크다. 괄호를 바꾸면 5 ∨ (10 ∨ 7)이 되고, 이를 계산하면 5 ∨ 10, 역시 10이다.

최솟값을 돌려주는 연산도 똑같다.