Had sebelah

Biasanya kita menghitung had dua sisi, iaitu kita menentukan nilai yang dihampiri oleh nilai fungsi dari kiri dan juga dari kanan. Namun, kita juga boleh menentukan had sebelah sahaja, iaitu hanya dari kiri atau hanya dari kanan.

Had sebelah kiri dan kanan

Katakan kita mempunyai suatu fungsi f(x) dan suatu titik x₀ tempat kita ingin menghitung had. Biasanya kita menulis:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=?$$

Namun, kita boleh menghampiri titik x₀ dari satu sisi sahaja, sama ada dari kiri atau dari kanan. Hal ini ditulis dengan tanda tolak dan tambah sebagai superskrip. Jadi, “x menghampiri tujuh dari kiri” dan “x menghampiri sepuluh dari kanan” ditulis seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 7^{-}}{lim}f(x)& =& L_1\\ \underset{x\to {10}^{+}}{lim}f(x)& =& L_2\end{array}$$

Takrif had diubah dengan mudah: sebagai ganti seluruh kejiranan titik had, kita hanya mengambil kejiranan kiri atau kanannya. Takrif had kanan yang diubah:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0<x<x_0+\delta )\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Perhatikan bahawa dalam implikasi ini kita hanya mengambil x yang lebih besar daripada x₀, iaitu x yang terletak di sebelah kanan nombor x₀ pada garis nombor. Takrif had kiri:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)((x_0-\delta <x<x_0)\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Secara am, had kiri dan had kanan tidak semestinya sama. Beberapa kes boleh berlaku: fungsi mempunyai had kiri dan had kanan pada suatu titik, fungsi hanya mempunyai salah satu daripadanya, atau fungsi tidak mempunyai kedua-duanya.

Fungsi f mempunyai had pada titik x₀ jika dan hanya jika fungsi itu mempunyai had kiri dan had kanan pada titik ini dan kedua-dua had itu sama. Jika fungsi mempunyai kedua-dua had sebelah tetapi nilainya berbeza, fungsi itu tidak mempunyai had pada titik tersebut, tetapi hanya mempunyai had sebelah.

Mari kita tunjukkan semua ini pada fungsi mudah f(x) = 1/x. Berikut grafnya:

Kes yang remeh ialah had apabila x menghampiri satu. Pada titik satu, fungsi ini selanjar dan tertakrif, jadi contoh ini sangat mudah. Dari kiri dan dari kanan, nilai fungsi menghampiri satu, jadi hadnya juga satu. Tetapi bagaimana jika kita mahu menghitung had apabila x menghampiri sifar?

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}=?$$

Contoh ini lebih menarik. Perhatikan bahawa kita cuba mencari had pada titik yang tidak terletak dalam domain fungsi. Jika kita menggantikan nilai sifar ke dalam fungsi, kita memperoleh ungkapan yang tidak sah (anda tidak boleh membahagi dengan sifar!). Hal ini tidak menjadi masalah, kerana takrif had menyebut titik had, dan sifar ialah titik had bagi domain. Dalam setiap kejiranan sifar, kita dapat menemukan suatu unsur domain fungsi.

Jika kita melihat graf dan mula menghampiri sifar dari sebelah kiri, kita lihat bahawa nilai fungsi terus berkurang. Contohnya:

$$\begin{array}{rcl}f(-10)& =& -1/10\\ f(-1)& =& -1\\ f(-\frac{1}{2})& =& -2\\ f(-1/10)& =& -10\end{array}$$

Jika kita mengambil nombor negatif yang “sangat” hampir dengan sifar, misalnya −0.000 001, kita memperoleh nilai fungsi yang “sangat” kecil: −1 000 000.

Semakin hampir kita kepada sifar dari sebelah kiri, semakin hampir nilai fungsi kepada negatif infiniti. Sebaliknya, jika kita menghampiri sifar dari sebelah kanan, nilai fungsi bertambah. Semakin hampir kita kepada sifar dari kanan, semakin hampir nilai fungsi kepada infiniti. Bagaimanakah kita menyelesaikannya? Kita katakan sahaja bahawa fungsi itu tidak mempunyai had pada titik sifar. Fungsi itu hanya mempunyai dua had sebelah yang berbeza:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}& =& -\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}& =& +\mathrm{\infty }\end{array}$$