Had terhingga di ketakterhinggaan

Had fungsi ialah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematik. Had menerangkan kelakuan suatu fungsi dalam kejiranan suatu titik. Dengan had, kita boleh, misalnya, mentakrifkan keselanjaran fungsi. Had fungsi juga membantu kita memahami kelakuan fungsi di tempat fungsi itu langsung tidak tertakrif.

Had terhingga di ketakterhinggaan

Situasi ini serupa dengan had jujukan. Kita mencari had fungsi apabila kita menghampiri infiniti. Had itu boleh terhingga atau tak terhingga. Kita mulakan dengan had terhingga.

Katakan ∞ ialah titik had bagi domain fungsi f. Maka, L ∈ ℝ ialah had fungsi pada titik ∞ jika

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

dan pada titik −∞ jika

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Apakah yang dinyatakan oleh takrif ini? Jika kita memilih suatu kejiranan-ϵ di sekitar had L yang kita jangkakan (iaitu pada paksi-y), kita sentiasa dapat mencari titik A pada paksi-x dengan keadaan bagi sebarang titik x di sebelah kanan A, iaitu x>A, berlaku |f(x) − L| < ϵ. Maksudnya, semua nilai fungsi berada pada jarak kurang daripada ϵ dari had L.

Ambil fungsi f(x) = (2/x) + 1. Grafnya:

Jelas bahawa jika nilai x menghampiri infiniti, nilai fungsi f(x) menghampiri satu. Jadi, kita pilih L = 1. Sekarang kita akan membuktikan bahawa L = 1 benar-benar had fungsi ini di positif infiniti. Mula-mula, kita cuba dahulu. Kita pilih suatu epsilon, misalnya $ϵ=\frac{1}{2}$. Sekarang kita cuba mencari A ∈ ℝ dengan keadaan bagi semua x yang lebih besar daripada A, nilai fungsi berada pada jarak kurang daripada ϵ dari L. Kita lakarkan dalam rajah:

Nilai fungsi f(x) berada pada jarak kurang daripada ϵ dari titik L bermakna lengkung graf fungsi terletak di antara garis-garis merah itu. Sekarang kita perlu mencari batas A pada paksi-x, iaitu titik yang selepasnya syarat ini sentiasa dipenuhi. Batas itu tidak semestinya yang terkecil, jadi kita boleh memilih, misalnya, A = 6.

Kita lihat bahawa selepas batas A, keseluruhan lengkung graf terletak di antara garis-garis merah yang menandakan jarak ϵ dari L. Setakat ini, kita membuktikannya bagi satu ϵ tertentu. Untuk membuktikan bahawa L = 1 benar-benar had, kita mesti dapat membuktikannya bagi semua ϵ > 0.

Sekarang kita perlu mencari nilai A yang menjadikan hubungan ini benar:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Selepas penggantian:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Kita boleh menolak nombor satu:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Seterusnya, kita boleh menganggap bahawa kita hanya mengambil x yang positif (kita berminat dengan nilai x yang menghampiri positif infiniti). Dengan itu, kita boleh membuang nilai mutlak:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Darabkan dengan x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Bahagikan dengan ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Melalui langkah-langkah ini, kita dapati bahawa x mesti lebih besar daripada 2/ϵ. Jadi, jika kita memilih A sebagai suatu nombor yang lebih besar daripada 2/ϵ, kita memperoleh batas yang kita cari.

Dalam percubaan tadi, kita memilih $ϵ=\frac{1}{2}$, jadi kita perlu memilih A sebagai nombor yang lebih besar daripada $2/\frac{1}{2}=4$. Kita telah memilih A = 6, dan pilihan itu betul.