Had tak terhingga di ketakterhinggaan

Had fungsi ialah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematik. Had menerangkan kelakuan suatu fungsi dalam kejiranan suatu titik. Dengan had, kita boleh, misalnya, mentakrifkan keselanjaran fungsi. Had fungsi juga membantu kita memahami kelakuan fungsi di tempat fungsi itu langsung tidak tertakrif.

Had tak terhingga di ketakterhinggaan

Had ini menggabungkan had-had sebelumnya. Kita mencari had fungsi apabila x menghampiri positif atau negatif infiniti, dan had itu sendiri juga positif atau negatif infiniti.

Kita katakan ∞ ialah had fungsi pada titik ∞ jika

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow f(x)>K)$$

dan pada titik −∞ jika

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow f(x)>K).$$

Hal yang serupa berlaku apabila x menghampiri −∞. Takrif ini menggabungkan prinsip-prinsip sebelumnya. Takrif ini menyatakan bahawa jika kita mencari had di infiniti dan had itu juga infiniti, maka bagi setiap batas K pada paksi-y kita dapat mencari batas A pada paksi-x dengan keadaan semua nilai fungsi f(x) bagi x > A, iaitu selepas batas A, lebih besar daripada batas K yang dipilih. Dengan kata lain, fungsi f(x) menokok tanpa batas. Walau apa pun batas yang kita pilih pada paksi-y, fungsi itu akhirnya akan melepasinya.

Bayangkan fungsi mudah f(x) = x. Jika kita memilih batas K pada paksi-y, maka bagi semua x > K kita memperoleh nilai fungsi yang lebih besar daripada K.