Had tak terhingga pada titik terhingga

Had fungsi ialah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematik. Had menerangkan kelakuan suatu fungsi dalam kejiranan suatu titik. Dengan had, kita boleh, misalnya, mentakrifkan keselanjaran fungsi. Had fungsi juga membantu kita memahami kelakuan fungsi di tempat fungsi itu langsung tidak tertakrif.

Had tak terhingga pada titik terhingga

Dalam bahagian sebelumnya, kita membincangkan had terhingga pada titik terhingga. Titik x₀ ialah titik terhingga jika x₀ ∈ ℝ, iaitu jika titik itu ialah nombor nyata. Tetapi titik juga boleh bermaksud infiniti, dan titik seperti itu dipanggil titik tak terhingga. Kita membezakan positif infiniti dan negatif infiniti: +∞, −∞. Jadi, had tak terhingga pada titik terhingga bermakna kita mempunyai suatu fungsi f, titik terhingga x₀, dan had pada titik ini ialah infiniti. Contoh fungsi seperti ini ialah $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Grafnya:

Pada titik terhingga x₀ = 0, fungsi ini mempunyai had positif infiniti. Dari sisi mana pun kita menghampiri x₀, nilai fungsi sentiasa menokok ke infiniti. Katakan x₀ ialah titik had bagi domain fungsi f. Fungsi f mempunyai had +∞ pada titik x₀ jika

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

dan had −∞ jika

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Jika takrif ini dipenuhi, kita boleh menulis

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Apakah yang dinyatakan oleh takrif ini? Dalam takrif pertama, pemboleh ubah K mewakili suatu batas pada paksi-y. Takrif itu menyatakan bahawa walau sebesar (setinggi) mana pun batas K yang kita pilih, kita sentiasa dapat mencari suatu kejiranan-δ tertusuk bagi titik x₀ dengan keadaan semua unsur dalam kejiranan ini mempunyai nilai fungsi yang lebih besar daripada K.

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan takrif ini pada fungsi tadi. Kita mencari had pada titik x₀ = 0 dan memilih K = 4:

Sekarang kita perlu mencari nilai δ dengan keadaan semua titik dalam selang (−δ, 0) ∪ (0, δ) mempunyai nilai fungsi yang lebih besar daripada K. Kita boleh memilih, misalnya, δ = 0.2. Jika kita melukisnya dalam rajah, kita peroleh:

Kita lihat bahawa nilai fungsi dalam selang (−δ, 0) ∪ (0, δ) terletak di atas nilai K. Kita juga boleh menghitungnya. Bagi nilai x = −0.2, kita peroleh f(−0.2) = |−1/0.2| = 5. Bagi nombor negatif, fungsi ini menokok. Jadi, bagi semua x dalam selang (−0.2; 0), nilai fungsi pasti lebih besar daripada lima, dan oleh itu juga lebih besar daripada K = 4. Hal yang serupa berlaku bagi selang yang kedua.

Setakat ini, kita hanya menunjukkannya bagi satu K tertentu. Jika fungsi itu mempunyai had positif infiniti, syarat ini mesti dipenuhi bagi sebarang K. Mari kita cuba membuktikannya. Oleh sebab f(x) = f(−x) (fungsi ini genap), kita hanya perlu mempertimbangkan bahagian positif, iaitu kita hadkan kepada selang (0, ∞).

Diberi suatu K, kita perlu mencari δ dengan keadaan f(x) > K bagi semua x ∈ (0, δ). Oleh sebab fungsi ini menyusut dalam selang positif, kita hanya perlu mencari δ yang memenuhi f(δ) > K. Maka, syarat itu pasti dipenuhi juga bagi semua x ∈ (0, δ). Sekarang kita selesaikan ketaksamaan f(δ) > K. Selepas penggantian:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Kita darabkan seluruh ketaksamaan dengan δ. Mengikut takrif, nilai δ sentiasa positif, jadi langkah ini dibenarkan. Kita peroleh:

$$1>\delta \cdot K$$

Sekarang anggap K > 0. Bagi K ≤ 0, bukti ini remeh kerana f(x) > 0 bagi semua x. Kini kita boleh membahagikan seluruh ketaksamaan dengan K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Inilah hasilnya. Jika K diberi, kita mencari nilai δ dengan mengambil sebarang nombor yang kurang daripada nilai 1/K (dan lebih besar daripada sifar, mengikut takrif), lalu kita memperoleh selang (0, δ).

Dalam kes tadi, kita mempunyai K = 4. Jika kita menggantikannya, kita dapati 1/4>δ. Delta mesti kurang daripada satu perempat. Kita telah memilih 0.2, iaitu satu perlima, dan pilihan itu betul.