Petua L'Hôpital

Petua L'Hôpital (disebut: lopital) kadangkala boleh digunakan untuk menghitung had dalam bentuk hasil bahagi.

Takrif

Apabila kita menghitung had fungsi pada suatu titik, dalam keadaan tertentu kita boleh menggunakan terbitan. Katakan kita mempunyai fungsi dalam bentuk hasil bahagi, iaitu fungsi f(x) dan g(x), dan kita mencari had

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Jika $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, kedua-dua fungsi mempunyai terbitan dalam suatu kejiranan titik x₀ (terbitan tidak semestinya wujud pada titik x₀ itu sendiri), dan had berikut wujud

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

maka hubungan berikut berlaku:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Jika had $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ tidak wujud, hal ini tidak bermakna had $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ juga tidak wujud. Jika had dengan terbitan tidak wujud, kita perlu menghitung had asal tanpa terbitan dengan cara lain.

Contoh

1. Hitung had

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Bolehkah kita menyelesaikan contoh ini dengan petua L'Hôpital? Mula-mula, kita perlu menyemak sama ada had kedua-dua fungsi (fungsi pada penyebut pecahan dan fungsi pada pengangka) pada titik x₀ = 3 sama dengan sifar. Katakan f(x) = x² − 9 dan g(x) = x² − x − 6. Kedua-duanya polinomial, jadi kedua-duanya selanjar, dan had masing-masing sama dengan nilai fungsi:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   Syarat pertama dipenuhi. Perhatikan bahawa kita tidak boleh menghitung had ini dengan hanya menggantikan x dengan tiga, kerana seluruh fungsi itu tidak selanjar pada titik x₀ = 3. Lebih tepat lagi, fungsi itu langsung tidak mempunyai nilai pada titik itu (kerana untuk memperolehnya, kita perlu membahagi dengan sifar). Sekarang kita boleh mencuba petua L'Hôpital dan membezakan kedua-dua fungsi. Berhati-hati: kita tidak membezakan menggunakan petua hasil bahagi, tetapi membezakan fungsi pada pengangka dan fungsi pada penyebut secara berasingan. Kita peroleh:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   Jadi, sebagai ganti had tadi, kita boleh menyelesaikan had berikut:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Fungsi ini selanjar pada titik x₀ = 3, jadi kita hanya perlu menggantikan x dengan tiga dan menghitung nilai seluruh fungsi:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Kita lihat bahawa had fungsi ini wujud. Oleh itu, had $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ juga wujud dan kedua-dua had itu sama. Maka:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Hitung had

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Bagaimanakah keadaannya pada titik x₀ = 0? Sekali lagi, katakan f(x) = x dan g(x) = sin x. Kita ada f(0) = 0 dan g(0) = 0. Kita memperoleh hasil bahagi $\frac{0}{0}$, jadi fungsi itu tidak selanjar pada titik tersebut. Kita boleh mencuba petua L'Hôpital. Bezakan kedua-dua fungsi:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \mathrm{kos}x\end{array}$$

   Setelah memperoleh terbitan kedua-dua fungsi, kita cuba menghitung had

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{kos}x}$$

   Apakah yang berlaku pada titik x₀ = 0? Oleh sebab kos(0) = 1, kita memperoleh pecahan $\frac{1}{1}=1$. Fungsi ini selanjar pada titik x₀ = 0, jadi

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{kos}x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Oleh sebab had ini wujud, had $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$ juga wujud dan kedua-dua had itu sama. Kita peroleh

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$