Median segi tiga

Median segi tiga ialah tembereng garis yang menyambungkan bucu segi tiga dengan titik tengah sisi yang bertentangan. Setiap segi tiga mempunyai tiga median, dan titik persilangan ketiga-tiganya ialah sentroid segi tiga.

Contoh

Lihat segi tiga berikut dengan mediannya: Setiap median ditandakan dengan warna merah. Median ditandakan dengan huruf kecil m bersama subskrip yang menunjukkan sisi dan bucu yang berkaitan dengan median itu (bagi tinggi segi tiga pula kita menggunakan huruf t). Oleh sebab sisi a bertentangan dengan bucu A, median dari bucu ini dinamakan m_a.

Median membahagikan segi tiga kepada dua segi tiga yang sama luas. Tidak seperti tinggi segi tiga, median kelihatan sama dalam semua jenis segi tiga.

Titik tengah tembereng garis

Tiga titik M_a, M_b dan M_c ialah titik tengah sisi-sisi segi tiga, iaitu titik tengah tembereng garis itu. Titik tengah boleh dibina dengan jangka lukis dan pembaris. Misalnya, untuk mencari titik tengah sisi AB, lukis dua bulatan yang sama besar, berpusat di bucu A dan B. Jejari bulatan ini mesti lebih panjang daripada separuh panjang tembereng garis AB – tetapi jejari kedua-dua bulatan mesti sama! Anda boleh menganggarkannya, atau melukis bulatan dengan jejari sepanjang sisi AB. Kedua-dua bulatan ini bersilang pada dua titik. Sambungkan kedua-dua titik ini dengan tembereng garis. Titik persilangan tembereng garis ini dengan sisi AB ialah titik tengah sisi AB.

Dalam rajah pertama, sentroid segi tiga ditandakan dengan warna hijau. Sentroid boleh dianggap sebagai pusat segi tiga.

Sentroid

Ketiga-tiga median sentiasa bersilang pada satu titik. Dengan cara ini, anda boleh menyemak sama ada lukisan anda betul. Jika median anda bersilang di tempat lain, lukisan anda tidak tepat atau salah sama sekali. Sentroid sentiasa terletak di dalam segi tiga, tidak seperti ortosenter, yang boleh terletak di luar segi tiga.

Sentroid ialah pusat imbangan segi tiga: jika anda ingin mengimbangkan segi tiga di hujung pensel, anda perlu meletakkan pensel tepat di bawah sentroid supaya segi tiga itu tidak jatuh.

Sentroid juga membahagikan setiap median dengan nisbah 1:2. Maksudnya, dua pertiga daripada panjang median terletak di satu sebelah sentroid dan satu pertiga lagi di sebelah yang lain. Bahagian median yang lebih panjang sentiasa berada di sebelah bucu segi tiga, manakala bahagian yang lebih pendek berada di sebelah sisi. Lihat rajah:

Panjang tembereng garis AG (tembereng garis biru) ialah dua kali panjang tembereng garis GM_a (tembereng garis hijau). Tembereng garis AD, DG dan GM_a pula sama panjang. Hal yang sama berlaku bagi median yang lain.

Tembereng tengah segi tiga

Tembereng tengah segi tiga ialah tembereng garis yang titik hujungnya ialah titik tengah dua sisi segi tiga. Lihat rajah:

Titik M_a, M_b dan M_c ialah titik tengah sisi, sama seperti bagi median. Untuk membentuk tembereng tengah, kita hanya menyambungkan dua daripada titik ini dengan tembereng garis. Tembereng tengah ditandakan dengan huruf s bersama subskrip yang menunjukkan bucu yang bertentangan. Segi tiga yang terbentuk dipanggil segi tiga titik tengah. Satu fakta menarik ialah sentroid segi tiga titik tengah sama dengan sentroid segi tiga asal. Dalam kes kita, sentroid itu ialah titik G.

Pengiraan panjang median

Untuk mengira panjang median, kita boleh menggunakan teorem Apollonius. Katakan a, b, c ialah panjang sisi segi tiga, manakala m_a, m_b dan m_c ialah panjang median:

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$