Kekongruenan segi tiga

Dua segi tiga dikatakan kongruen jika kita boleh menggunting salah satu daripadanya daripada kertas dan meletakkannya tepat di atas segi tiga yang satu lagi. Segi tiga yang digunting itu boleh digerakkan sesuka hati: dianjak, diputarkan, malah diterbalikkan. Namun, segi tiga itu tidak boleh diregangkan atau dikecilkan.

Dalam segi tiga yang kongruen, sisi yang sepadan sama panjang dan sudut yang sepadan sama besar. Dalam rajah, sisi yang sepadan mempunyai warna yang sama: sisi AB sama panjang dengan KL, sisi BC dengan LM dan sisi AC dengan KM. Hal ini ditulis seperti berikut:

$$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}KLM$$

Urutan bucu dalam tatatanda ini penting. Urutan itu menentukan bucu yang sepadan: A dengan K, B dengan L dan C dengan M.

Syarat kekongruenan

Segi tiga mempunyai enam unsur: tiga sisi dan tiga sudut. Untuk mengetahui sama ada dua segi tiga kongruen, kita tidak perlu membandingkan kesemua enam unsur. Tiga unsur sudah cukup, asalkan unsur itu dipilih dengan betul. Empat syarat kekongruenan memberitahu kita tiga unsur yang mencukupi. Dalam rajah, tiga unsur ini ditandakan dengan warna.

Syarat SSS: Dua segi tiga yang ketiga-tiga sisinya sama panjang ialah segi tiga yang kongruen. Ingat semula cara melukis segi tiga apabila tiga sisi diketahui. Titik C dicari dengan jangka lukis sebagai titik persilangan dua bulatan. Kedua-dua bulatan itu bersilang pada dua titik, iaitu di atas dan di bawah sisi AB, tetapi kedua-dua segi tiga yang terbentuk hanyalah salinan terbalik bagi segi tiga yang sama. Jadi, tiga sisi sentiasa menghasilkan segi tiga yang sama.

Syarat SAS: Dua sisi dan sudut yang diapit oleh kedua-dua sisi itu sudah mencukupi. Sudut itu mesti terletak di bucu tempat kedua-dua sisi bertemu.

Syarat ASA: Satu sisi dan dua sudut pada hujung sisi itu sudah mencukupi. Lengan kedua-dua sudut bersilang pada satu titik sahaja, iaitu bucu ketiga.

Syarat SSA: Dua sisi dan sudut yang bertentangan dengan sisi yang lebih panjang sudah mencukupi. Syarat ini sah hanya jika sudut itu bertentangan dengan sisi yang lebih panjang; jika sudut itu bertentangan dengan sisi yang lebih pendek, syarat ini tidak mencukupi (lihat di bawah). Buku teks KSSM tidak menyenaraikan syarat ini secara berasingan. Kes khasnya ialah syarat RHS bagi segi tiga bersudut tegak, kerana hipotenus sentiasa sisi yang paling panjang.

Bilakah syarat tidak mencukupi

Kita mungkin tergoda untuk mengatakan bahawa sebarang tiga unsur sudah cukup. Hal ini tidak benar.

Tiga sudut yang sama tidak mencukupi. Segi tiga dengan sudut yang sama boleh mempunyai sebarang saiz, seperti gambar foto dan salinannya yang dibesarkan. Segi tiga seperti ini mempunyai bentuk yang sama tetapi saiz yang berbeza, dan segi tiga ini dikatakan serupa.

Dua sisi dan sudut yang bertentangan dengan sisi yang lebih pendek juga tidak mencukupi. Mari kita cuba melukis segi tiga seperti ini. Mula-mula, lukis sudut α dan tandakan sisi c = |AB| pada salah satu lengannya. Titik C terletak pada lengan yang satu lagi dan jaraknya dari titik B ialah a, jadi kita lukis bulatan berjejari a yang berpusat di B. Jika a lebih kecil daripada c, bulatan itu boleh menyilang lengan sudut pada dua titik:

Segi tiga ABC₁ dan ABC₂ mempunyai sisi a, c dan sudut α yang sama, tetapi kedua-duanya tidak kongruen. Jika a lebih besar daripada c, bulatan itu hanya menyilang lengan sudut sekali. Inilah yang dinyatakan oleh syarat SSA.

Contoh: lebar sungai

Bayangkan kita berdiri di tebing sungai di titik A, dan betul-betul bertentangan dengan kita, di tebing seberang, terdapat sebatang pokok S. Bagaimanakah kita dapat mengetahui lebar sungai itu jika kita tidak boleh merentangkan pita pengukur ke seberang?

Kita berjalan di sepanjang tebing, dan selepas 20 meter kita pacakkan sebatang pancang P. Kemudian, kita berjalan 20 meter lagi hingga ke titik B. Di situ, kita membelok secara serenjang menjauhi sungai dan terus berjalan sehingga pancang dan pokok itu kelihatan segaris. Titik C terletak di tempat itu.

Segi tiga APS dan BPC kongruen mengikut syarat ASA. Sisi AP dan BP kedua-duanya sepanjang 20 meter. Sudut di A dan di B ialah sudut tegak. Sudut di pancang P ialah sudut bertentang bucu, jadi kedua-duanya juga sama besar. Oleh itu,

$$\mathrm{△}APS\cong \mathrm{△}BPC,$$

dan sisi BC sama panjang dengan sisi AS, iaitu lebar sungai.

Katakan dari titik B ke titik C kita mengira 36 langkah, dan satu langkah lebih kurang 75 cm. Maka, jarak |BC| ialah

$$|BC|\approx 36\cdot 0.75=27\text{m}$$

Lebar sungai itu lebih kurang 27 meter, dan kita langsung tidak basah.

Lihat juga

• Cara melukis segi tiga
• Segi tiga
• Membina sudut yang sama