Keserupaan segi tiga

Segi tiga yang serupa mempunyai bentuk yang sama, tetapi saiznya mungkin berbeza. Satu segi tiga ialah salinan yang dibesarkan atau dikecilkan bagi segi tiga yang lain, seperti apabila anda membesarkan gambar dengan mesin fotokopi. Salinan itu boleh diputarkan atau diterbalikkan tanpa menjejaskan keserupaan.

Dalam segi tiga yang serupa, sudut yang sepadan sama besar dan sisi yang sepadan berada dalam nisbah yang sama. Dalam rajah, sisi a' dua kali ganda panjang sisi a, sisi b' dua kali ganda b, dan c' dua kali ganda c. Nombor ini dipanggil faktor skala dan ditandakan dengan k. Setiap sisi menjadi k kali ganda panjang asalnya:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

Dalam rajah, k = 2. Jika k kurang daripada satu, misalnya $k=\frac{1}{2}$, segi tiga kedua sebaliknya menjadi lebih kecil. Keserupaan ditulis seperti berikut:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Seperti bagi kekongruenan, urutan bucu menunjukkan unsur yang sepadan: bucu A sepadan dengan bucu A', B dengan B' dan C dengan C'. Segi tiga yang kongruen sebenarnya kes khas segi tiga yang serupa, dengan faktor skala k = 1: salinannya tidak lebih besar dan tidak lebih kecil.

Syarat keserupaan

Kita boleh mengetahui sama ada dua segi tiga serupa tanpa menyemak semua sudut dan semua sisi. Syarat keserupaan menyerupai syarat kekongruenan, cuma kita mencari nisbah sisi yang sama, bukan sisi yang sama panjang.

Syarat AA: Jika dua segi tiga mempunyai dua pasang sudut yang sama besar, segi tiga itu serupa. Kita tidak perlu mengukur sudut ketiga. Hasil tambah sudut dalam segi tiga sentiasa 180°, jadi sudut ketiga semestinya sama juga.

Syarat SSS: Jika ketiga-tiga nisbah sisi yang sepadan bagi dua segi tiga sama, segi tiga itu serupa:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Syarat SAS: Cukup jika dua sisi yang sepadan mempunyai nisbah yang sama dan sudut yang diapit oleh sisi-sisi itu sama besar.

Contoh: tinggi sebatang pokok

Di halaman rumah kita terdapat sebatang pokok yang tinggi, dan kita ingin tahu tinggi sebenarnya. Kita tidak mahu memanjat pokok itu dengan pita pengukur. Jadi, kita pacakkan sebatang tiang tegak setinggi 2 meter ke dalam tanah. Tiang itu menghasilkan bayang-bayang sepanjang 1.5 meter, dan pada masa yang sama pokok itu menghasilkan bayang-bayang sepanjang 12 meter.

Pokok, bayang-bayangnya dan sinar matahari membentuk sebuah segi tiga. Segi tiga kedua dibentuk oleh tiang, bayang-bayangnya dan sinar matahari. Tiang dan pokok kedua-duanya tegak di atas tanah, jadi kedua-dua segi tiga mempunyai sudut tegak di pangkalnya. Sinar matahari jatuh pada sudut yang sama pada masa yang sama, jadi sudut di hujung bayang-bayang juga sama dalam kedua-dua segi tiga. Kita mempunyai dua pasang sudut yang sama besar, jadi mengikut syarat AA, kedua-dua segi tiga itu serupa.

Faktor skala dibaca daripada bayang-bayang: bayang-bayang pokok k kali ganda panjang bayang-bayang tiang:

$$k=12:1.5$$

Kita bahagikan:

$$k=8$$

Jadi, pokok itu lapan kali ganda tinggi tiang. Tinggi pokok ialah

$$t=8\cdot 2$$

Kita darabkan:

$$t=16\text{m}$$

Pokok itu setinggi 16 meter. Kita boleh menyemak jawapan ini dengan nisbah tinggi kepada bayang-bayang, yang mesti sama bagi kedua-dua segi tiga. Bagi tiang, nisbahnya $2:1.5=\frac{4}{3}$, dan bagi pokok, $16:12=\frac{4}{3}$. Betul.

Awas dengan luas

Kita mungkin tergoda untuk menyimpulkan bahawa jika sisi menjadi k kali ganda panjang, luasnya juga menjadi k kali ganda. Ini salah. Luas menjadi k² kali ganda.

Bayangkan segi tiga yang semua sisinya dua kali ganda panjang. Jika kita menyambungkan titik tengah sisi-sisinya, segi tiga itu terbahagi kepada empat segi tiga, dan setiap satu ialah salinan tepat segi tiga asal:

Dengan faktor skala k = 2, luasnya empat kali ganda, bukan dua kali ganda. Secara umum, luas segi tiga A'B'C' ialah

$$L^{\prime }=k^2\cdot L,$$

dengan L ialah luas segi tiga asal. Jika k = 3, luasnya sembilan kali ganda. Hal ini sama seperti gambar foto: jika anda membesarkannya dua kali ganda lebar dan tingginya, kertas yang diperlukan menjadi empat kali ganda.

Lihat juga

• Kekongruenan segi tiga
• Nisbah
• Ubahan langsung dan ubahan songsang