다항식의 인수분해

다항식은 다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다. 다음 다항식을 생각해 보자.

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

상수 n은 다항식의 차수, 즉 다항식에 나오는 지수 가운데 계수가 0이 아닌 가장 큰 지수이다. 예를 들어 다항식 x³ − 4x² − 5x의 차수는 3이다. 나머지 지수는 모두 이보다 작거나(지수 2와 1) 계수가 0이다. 이제 다음 사실을 말할 수 있다. 다항식의 근 k를 하나 찾으면, 차수가 하나 낮은 다른 다항식 Q_{n − 1}(x)가 존재하여 다음이 성립한다.

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

복잡해 보이지만 실제 내용은 간단하다. 다항식 P_n(x)의 근을 알면 식 (x − k)를 곱했을 때 원래 다항식 P_n(x)가 되는 다른 다항식 Q_{n − 1}(x)를 찾을 수 있고, 이 다항식 Q_{n − 1}(x)는 P_n(x)보다 차수가 하나 낮다는 것이다. 다항식 P₃(x) = x³ − 4x² − 5x를 보면 근 가운데 하나가 k₁ = 0임을 알 수 있다(x에 0을 대입하면 식 전체가 0이 되기 때문이다). 따라서 다음을 만족하는 다항식 Q₂(x)가 존재해야 한다.

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

이 경우는 쉽다. x − 0은 당연히 x와 같으므로 다음 식을 얻는다.

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

원래 다항식 P₃(x)에서 x를 공통인수로 묶어 내면 새 다항식 Q₂(x)를 얻는다.

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

이것이 다항식을 곱으로 나타내는 첫 단계이다. 원래 다항식 x³ − 4x² − 5x를 (x − 0)과 차수가 더 낮은 다항식 x² − 4x − 5의 곱으로 나타냈다. 그런데 이 다항식 x² − 4x − 5도 다시 인수분해할 수 있다. 다음 이차방정식을 풀어 보자.

$$x^2-4x-5=0$$

그러면 이 방정식의 근이 k₂ = 5와 k₃ = −1임을 알 수 있다. 따라서 다음을 만족하는 다항식 Q₁(x)를 찾을 수 있어야 한다.

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

다항식 Q₁(x)를 구하는 것은 그리 간단하지 않은데, 예를 들어 다항식의 나눗셈을 이용하면 된다. 그러면 Q₁(x) = x + 1임을 알 수 있으므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

원래 다항식 P₃(x) 전체는 다음과 같다.

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

다항식을 이렇게 끝까지 인수분해하면 근을 한눈에 읽을 수 있다. 곱의 인수 가운데 하나라도 0이 되면 식 전체가 0이 되기 때문이다. 따라서 이 식에서 다항식의 근이 k₁ = 0, k₂ = 5, k₃ = −1이라는 것을 바로 알 수 있다.