Phân tích đa thức thành nhân tử

Một đa thức có thể phân tích thành tích của các đa thức. Giả sử ta có đa thức

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

Hằng số n là bậc của đa thức, tức là số mũ cao nhất có trong đa thức mà hệ số tương ứng khác không. Ví dụ, đa thức x³ − 4x² − 5x có bậc 3. Mọi số mũ khác hoặc nhỏ hơn (số mũ 2 và 1), hoặc có hệ số bằng không. Bây giờ có thể nói: nếu tìm được một nghiệm k của đa thức, thì tồn tại một đa thức khác Q_{n − 1}(x) có bậc nhỏ hơn một đơn vị và

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Nghe có vẻ phức tạp, nhưng thực chất điều này nói rằng: khi biết một nghiệm của đa thức P_n(x), ta tìm được một đa thức khác Q_{n − 1}(x) mà nhân nó với biểu thức (x − k) thì được đa thức ban đầu P_n(x), trong đó đa thức Q_{n − 1}(x) có bậc thấp hơn bậc của P_n(x) một đơn vị. Xét đa thức P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, ta thấy một nghiệm của nó là số k₁ = 0 (vì khi thay x bằng không, cả biểu thức bằng không). Do đó phải tồn tại đa thức Q₂(x) sao cho

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Ở đây việc này đơn giản, vì x − 0 đương nhiên bằng x, nên ta được đẳng thức:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Chỉ cần đặt nhân tử chung x ra khỏi đa thức ban đầu P₃(x) là được đa thức mới Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Đó là bước phân tích đầu tiên của đa thức thành nhân tử. Ta đã phân tích đa thức ban đầu x³ − 4x² − 5x thành tích của (x − 0) với x² − 4x − 5, một đa thức có bậc thấp hơn. Nhưng đa thức x² − 4x − 5 này lại có thể phân tích tiếp. Giải phương trình bậc hai

$$x^2-4x-5=0$$

ta được các nghiệm là k₂ = 5 và k₃ = −1. Vậy ta phải tìm được đa thức Q₁(x) sao cho

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Tìm đa thức Q₁(x) không hoàn toàn đơn giản; có thể dùng phép chia đa thức. Khi đó ta được đa thức Q₁(x) = x + 1, nên có thể viết

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

Cả đa thức ban đầu P₃(x) bằng:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Khi phân tích cả đa thức như vậy, ta đọc ra ngay từng nghiệm. Nếu bất kì nhân tử nào trong tích bằng không thì cả biểu thức bằng không. Vì vậy từ cách viết này thấy ngay các nghiệm của đa thức chính là các số k₁ = 0, k₂ = 5 và k₃ = −1.