Sektor bulatan

Sektor bulatan ialah sebahagian daripada bulatan yang rupanya seperti sepotong piza atau kek. Sektor ini dipotong dengan dua hirisan yang bermula dari pusat hingga ke tepi. Jadi, sektor dibatasi oleh dua jejari dan sebahagian daripada lilitan bulatan di antara kedua-duanya.

Kawasan berwarna merah ialah sektor itu sendiri, dan luasnya yang akan kita kira. Tembereng garis hitam ialah dua jejari r, iaitu dua hirisan pisau. Sudut α yang dibentuk oleh kedua-dua jejari ditandakan dengan warna jingga. Sudut ini dipanggil sudut pada pusat kerana bucunya terletak di pusat bulatan. Warna biru menunjukkan lengkok l, iaitu bahagian lilitan bulatan yang membatasi sektor dari luar. Pada piza, bahagian ini ialah kerak di tepinya.

Rumus sektor bulatan

Jika anda hanya mencari rumus, luas sektor bulatan L dengan jejari r dan sudut pada pusat α dalam darjah ialah

$$L=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Panjang lengkok l bagi sektor yang sama ialah

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Sebagai contoh, sektor dengan jejari r = 6 dan sudut pada pusat α = 60° mempunyai luas

$$L=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

dan panjang lengkoknya ialah

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Jika anda tidak suka jawapan yang mengandungi pemalar pi, anda boleh menggantikannya dengan nilai hampiran 3.14:

$$L\approx 6\cdot 3.14=18.84,l\approx 2\cdot 3.14=6.28$$

Bagaimanakah rumus ini diperoleh?

Sudut di sekeliling pusat bagi seluruh bulatan ialah 360°. Sektor ialah bahagian bulatan yang sama besar dengan bahagian 360° yang diambil oleh sudut pada pusatnya. Sektor dengan sudut 90° ialah suku bulatan kerana 90° ialah satu perempat daripada 360°. Sektor dengan sudut 180° ialah separuh bulatan, sektor dengan sudut 270° ialah tiga suku bulatan, dan sektor dengan sudut 360° ialah seluruh bulatan:

Jadi, pecahan berikut menyatakan bahagian bulatan yang diliputi oleh sektor:

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Bagi sudut 90°, kita memperoleh $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, dan bagi 60° pula $\frac{1}{6}$. Oleh itu, luas sektor ialah bahagian yang sama daripada luas seluruh bulatan. Luas bulatan ialah

$$L_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

jadi luas sektor diperoleh dengan mendarabkan luas ini dengan pecahan tersebut:

$$L=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot L_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Hal yang sama berlaku bagi lengkok. Apabila sudut membuka, lengkok biru turut memanjang, dan pada sudut 360° lengkok itu menjadi seluruh bulatan. Oleh itu, lengkok ialah bahagian lilitan bulatan yang sama seperti bahagian sudut α daripada 360°. Lilitan bulatan ialah

$$P=2\cdot \pi \cdot r,$$

maka panjang lengkok ialah

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot P=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Contoh: piza

Sebiji piza berdiameter 32 cm dipotong kepada 8 potongan yang sama besar. Berapakah luas satu potongan?

Setiap potongan ialah sektor bulatan. Mula-mula, kita memerlukan sudut pada pusatnya. Lapan potongan yang sama membahagikan seluruh 360°, jadi sudut satu potongan ialah

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Awas, perangkap: 32 cm ialah diameter piza, bukan jejarinya. Rumus memerlukan jejari, iaitu separuh daripada diameter, jadi r = 16 cm. Kita gantikan ke dalam rumus luas sektor:

$$L=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Pecahan itu dipermudahkan menjadi satu perlapan. Hal ini munasabah kerana satu potongan ialah satu perlapan piza. Kita kuasaduakan 16:

$$L=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Kita bahagikan 256 dengan lapan:

$$L=32\pi$$

Akhir sekali, kita gantikan nilai hampiran pi:

$$L\approx 32\cdot 3.14=100.48$$

Luas satu potongan ialah lebih kurang 100.48 sentimeter persegi. Jika seseorang tersilap menggantikan seluruh diameter 32 cm ke dalam rumus, luas potongan itu akan menjadi empat kali ganda, iaitu lebih daripada empat ratus sentimeter persegi. Piza seperti itu cukup untuk mengenyangkan seisi keluarga.

Contoh: jam

Jarum minit sebuah jam dinding panjangnya 15 cm. Berapakah jarak yang dilalui oleh hujung jarum itu dalam masa 20 minit?

Hujung jarum bergerak di sepanjang bulatan yang jejarinya sama dengan panjang jarum, jadi r = 15 cm. Jarak yang dilaluinya ialah lengkok biru l. Kita juga memerlukan sudut. Dalam masa 60 minit, jarum itu membuat satu putaran lengkap, iaitu 360°. Dalam masa 20 minit, jarum itu membuat satu pertiga putaran:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Kita gantikan ke dalam rumus panjang lengkok:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Pecahan itu ialah satu pertiga, dan 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Kita gantikan nilai hampiran pi:

$$l\approx 10\cdot 3.14=31.4$$

Dalam masa 20 minit, hujung jarum minit bergerak sejauh lebih kurang 31.4 cm.

Mencari sudut apabila lengkok diketahui

Kadangkala keadaannya terbalik: kita tahu jejari dan panjang lengkok, dan kita mahu mencari sudut pada pusat. Kita bermula dengan rumus panjang lengkok dan mengungkapkan sudut α daripadanya:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Contoh: Sebuah kereta memasuki bulatan jalan raya dan bergerak di sepanjang bulatan berjejari 10 meter. Kereta itu bergerak sejauh 15.7 meter sebelum keluar dari bulatan jalan raya. Berapakah sudut putaran kereta itu di sekeliling pusat bulatan jalan raya?

Kita gantikan l = 15.7 dan r = 10, dan kita guna 3.14 bagi pi kerana panjang lengkok diberikan secara hampiran:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15.7}{2\cdot 3.14\cdot 10}$$

Kita darabkan penyebut:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15.7}{62.8}$$

Nombor 15.7 tepat satu perempat daripada 62.8, jadi pecahan itu dipermudahkan:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Kereta itu berputar sebanyak 90°, iaitu mengelilingi satu perempat bulatan jalan raya. Kita boleh menyemak pengiraan ini: satu perempat lilitan ialah $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3.14\cdot 10=15.7$ meter. Jawapannya betul.

Sudut dalam radian

Jika sudut diberikan dalam radian, rumusnya menjadi lebih ringkas. Seluruh bulatan ialah 360° = 2π radian, jadi pecahan yang menyatakan bahagian bulatan yang diliputi oleh sektor ialah $\frac{\alpha }{2\pi }$. Selepas penggantian, pi dibatalkan:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$L=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Awas, rumus ringkas ini memerlukan sudut dalam radian, bukan dalam darjah. Jika anda menggantikan, misalnya, 45 ke dalamnya, jawapannya tidak masuk akal.

Misalnya, potongan piza dalam contoh di atas mempunyai sudut 45°, iaitu $\frac{\pi }{4}$ radian. Maka luas potongan itu ialah $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, sama seperti sebelumnya.

Kalkulator

Anda juga boleh mengira luas sektor dan panjang lengkok di sini. Sudut boleh dimasukkan dalam darjah atau radian, dan anda boleh menukar unit bagi setiap medan.

Lihat juga

• Luas bulatan
• Lilitan bulatan
• Bulatan
• Ukuran radian