Luas poligon sekata

Contoh poligon sekata ialah segi empat sama. Poligon sekata ialah poligon yang semua sisinya sama panjang dan semua sudutnya sama besar. Sebagai contoh, beginilah rupa oktagon sekata:

Bagaimanakah kita mengira luas oktagon sekata seperti ini jika panjang sisinya diketahui? Sebagai contoh, katakan panjang sisinya ialah a = 10. Kita boleh membahagikan oktagon itu kepada lapan segi tiga yang kongruen:

Kerja kita kini lebih mudah. Kita hanya perlu mengira luas satu segi tiga dan mendarabkan luas ini dengan lapan untuk memperoleh luas seluruh oktagon. Apakah yang kita ketahui tentang segi tiga ini? Segi tiga ini ialah segi tiga sama kaki: dua sisi yang bermula dari pusat S sentiasa sama panjang, manakala sisi oktagon mempunyai panjang yang berbeza (hanya heksagon yang boleh dibahagikan kepada segi tiga yang semua sisinya sama panjang). Jadi, panjang sisi FS sama dengan panjang sisi ES.

Berapakah sudut yang dibentuk oleh segi tiga ini di bucu S? Misalnya, berapakah saiz sudut ∠FSE? Kita lihat bahawa semua segi tiga itu sama, jadi semua sudut di bucu S mesti sama besar. Kita juga tahu bahawa jika kita menambah saiz semua sudut ini, kita memperoleh 360 darjah, iaitu satu putaran lengkap. Oleh itu, saiz sudut ∠FSE mesti sama dengan 360 dibahagi dengan bilangan sudut, iaitu bilangan segi tiga.

$$\mathrm{\angle }FSE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Oleh sebab hasil tambah semua sudut pedalaman segi tiga ialah 180° dan segi tiga kita ialah segi tiga sama kaki, dua sudut yang lain mesti sama saiz, iaitu 67.5°:

Bagaimanakah kita mengira luas segi tiga sama kaki ini sekarang? Panjang sisi FE diketahui daripada soalan, iaitu |FE| = 10. Kita lukis tinggi segi tiga yang melalui titik S:

Tembereng garis SP_s ini membahagikan segi tiga kepada dua segi tiga yang lebih kecil, yang juga sama, cuma merupakan imej cermin antara satu sama lain. Mari kita susun semula segi tiga ini. Kita ambil segi tiga FSP_s dan alihkannya supaya bentuk yang terhasil ialah segi empat tepat:

Segi empat tepat SF₁EP_s ini mempunyai luas yang sama dengan segi tiga FSE. Luas segi empat tepat dikira sebagai hasil darab panjang dua sisinya:

$$L_{◻}=|t_s|\cdot |P_{s}E|$$

Kita tahu panjang tembereng garis P_sE, iaitu separuh daripada panjang sisi FE, dan panjang sisi itu (sisi oktagon, seperti dalam soalan) ialah |FE| = 10. Jadi, tembereng garis P_sE mempunyai panjang |P_sE| = 5. Tinggi t_s lebih sukar dicari. Oleh sebab segi tiga P_sSE ialah segi tiga bersudut tegak, kita boleh menggunakan fungsi trigonometri. Saiz sudut ∠P_sSE ialah separuh daripada saiz sudut asal ∠FSE, iaitu

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}SE=\frac{\mathrm{\angle }FSE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}={22.5}^{\circ }$$

Sekarang kita gunakan fakta bahawa kotangen suatu sudut sama dengan nisbah panjang sisi bersebelahan kepada panjang sisi bertentangan. Supaya lebih jelas, kita tandakan sudut ∠P_sSE dengan huruf Yunani α:

$$\mathrm{kot}\alpha =\frac{|t_s|}{|P_{s}E|}$$

Kita perlu mencari |t_s| daripada persamaan ini, jadi kita darabkan kedua-dua belah persamaan dengan |P_sE| dan memperoleh:

$$\mathrm{kot}\alpha \cdot |P_{s}E|=|t_s|$$

Sekarang kita tahu nilai tinggi itu. Kita gantikan nilai-nilainya:

$$\begin{array}{rcl}|t_s|& =& \mathrm{kot}\alpha \cdot |P_{s}E|\\ & \approx & 2.414\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

Panjang tinggi itu lebih kurang 12. Luas segi empat tepat, dan oleh itu juga luas segi tiga, ialah

$$L_{\mathrm{△}}=|t_s|\cdot |P_{s}E|$$

Selepas penggantian, kita memperoleh:

$$L_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

Luas satu segi tiga lebih kurang 60. Oleh sebab terdapat lapan segi tiga semuanya, luas oktagon sekata dengan panjang sisi a = 10 ialah lebih kurang

$$L=8\cdot L_{\mathrm{△}}=480$$

Bagaimanakah kita memperoleh rumus daripada pengiraan ini? Bagi poligon sekata n sisi dengan panjang sisi a, kita ada

$$L=n\cdot L_{\mathrm{△}}$$

Yang tinggal ialah rumus am bagi $L_{\mathrm{△}}$:

$$L_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \mathrm{kot}\alpha \cdot \frac{a}{2}$$

Sudut α ialah separuh daripada sudut yang dibentuk oleh segi tiga di pusat S, iaitu

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Kita gantikan semula:

$$L_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \mathrm{kot}\frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

Kemudian kita kemaskan sedikit:

$$L_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \mathrm{kot}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Dalam langkah terakhir, kita darabkan nilai ini dengan bilangan sisi poligon n sisi itu dan memperoleh rumus akhir:

$$L=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \mathrm{kot}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Kalkulator: hitung luas poligon sekata n sisi