Lineaire ongelijkheden

Lineaire ongelijkheden los je op met vergelijkbare bewerkingen als wanneer je een gewone lineaire vergelijking uitrekent. Een lineaire ongelijkheid heeft doorgaans de vorm: ax + b>0 (of kleiner dan, groter dan of gelijk aan en kleiner dan of gelijk aan). Nu hoef je de ongelijkheid alleen nog in de volgende vorm te brengen en de oplossing is er: x>−b/a. We nemen natuurlijk aan dat a>0. Voor negatieve a zou bij het delen het ongelijkheidsteken omdraaien en zou er x<−b/a uitkomen.

Een gewone lineaire ongelijkheid

Een lineaire ongelijkheid kunnen we oplossen met equivalente bewerkingen van ongelijkheden.

• Een eenvoudig voorbeeld kan er zo uitzien:

  $$3x+9>3$$

  Eerst brengen we alle uitdrukkingen zonder onbekende naar de rechterkant. We tellen in de ongelijkheid dus het getal −9 op, waardoor we de ongelijkheid krijgen:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Vervolgens delen we de hele ongelijkheid door drie:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Dat is de oplossing van de hele ongelijkheid. Aan de ongelijkheid is voldaan voor alle x > −2.

  De ongelijkheid kunnen we ook grafisch oplossen. Als we de ongelijkheid 3x + 9 > 3 hebben, tekenen we de grafieken van twee functies: de linker- en de rechterkant van de ongelijkheid. We krijgen de functies f(x) = 3x + 9 en g(x) = 3. Hun grafieken zien er zo uit:

  

  We zien dat deze grafieken elkaar snijden in één punt x₁, dat precies de x-coördinaat −2 heeft. We zien ook dat voor alle x > x₁, dus voor alle x uit het interval ⟨ − 2, → ⟩ de rode functie 3x + 9 “boven” de blauwe functie 3 ligt (hier is “boven” in de zin van “heeft een grotere y-coördinaat”). Dat komt overeen met het resultaat dat we zojuist hebben uitgerekend.

• Soms is het handig om, als er veel mintekens in staan, de hele ongelijkheid met min één te vermenigvuldigen. In dat geval moet je behalve de waarden van de ongelijkheid zelf ook het ongelijkheidsteken omdraaien: van groter dan kleiner dan maken en omgekeerd:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Dit geldt natuurlijk altijd als je de hele ongelijkheid met een willekeurig negatief getal vermenigvuldigt. Dus nog een snel voorbeeld:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  In de eerste stap tellen we gewoon −2x bij de ongelijkheid op, dus we brengen alle uitdrukkingen met de variabele naar de linkerkant. Tegelijk trekken we acht af, waarmee we de constanten naar de rechterkant brengen. Dan hoeven we alleen nog de hele ongelijkheid met $-\frac{1}{5}$ te vermenigvuldigen.

  Ter illustratie bekijk je de grafische oplossing van de ongelijkheid, waarbij we twee functies tekenen, f(x) = −3x + 8 en g(x) = 2x − 7.

  

  We zien dat de rode grafiek van de functie −3x + 8 onder de blauwe grafiek van de functie 2x − 7 ligt wanneer x > 3.

Variabele in de noemer

Een lineaire ongelijkheid die breuken met een variabele in de noemer bevat, los je op een iets ingewikkelder manier op. Een voorbeeld is de ongelijkheid:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

De ongelijkheid kunnen we niet met de onbekende in de noemer vermenigvuldigen, omdat we het teken ervan niet kennen. Als de waarde van de variabele negatief zou zijn, zouden we namelijk het ongelijkheidsteken moeten omdraaien. Daarom kunnen we de ongelijkheid niet zomaar met de variabele in de noemer vermenigvuldigen. Het zou geen equivalente bewerking van ongelijkheden zijn.

We beginnen de ongelijkheid zo te herleiden dat we één breuk aan de linkerkant en nul aan de rechterkant krijgen. Eerst tellen we dus −4 bij de ongelijkheid op, zo krijgen we de vorm:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Nu moeten we de uitdrukking aan de linkerkant tot één breuk herleiden. Het getal −1 vermenigvuldigen we dus met de breuk $\frac{x}{x}$, waardoor we beide uitdrukkingen op een gemeenschappelijke noemer brengen, en dan tellen we de breuken gewoon op:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Nu staan we voor de vraag: wanneer is een breuk positief? Een breuk is positief als de teller en de noemer allebei positief zijn, of als de teller en de noemer allebei negatief zijn. Als een van beide positief is en de andere negatief, is de breuk negatief. Als we bijvoorbeeld de breuk $\frac{4}{3}$ hebben, stelt de hele breuk een positief getal voor. Als we de breuk $\frac{-3}{4}$ hebben, stelt de breuk een negatief getal voor. De breuk $\frac{-3}{-4}$ stelt dan weer een positief getal voor, omdat de mintekens tegen elkaar wegvallen. In het algemeen kunnen we opschrijven:

$$\begin{array}{rcl}\frac{positief}{positief}& =& positief\\ \frac{positief}{negatief}& =& negatief\\ \frac{negatief}{positief}& =& negatief\\ \frac{negatief}{negatief}& =& positief\end{array}$$

We zullen dus twee stelsels van ongelijkheden moeten oplossen. We beginnen met uitzoeken wanneer de teller en de noemer allebei positief zijn:

1. Om de teller en de noemer allebei positief te laten zijn, moeten beide ongelijkheden tegelijk gelden:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   Bij de eerste ongelijkheid brengen we alleen de 2 naar de andere kant en vermenigvuldigen we met −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   We hebben de oplossing van de eerste ongelijkheid. Bij de tweede ongelijkheid x > 0 valt er niets meer op te lossen. Nu moeten we de doorsnede van deze oplossingen nemen, omdat we geïnteresseerd zijn in de gevallen waarin beide oplossingen tegelijk gelden, dus waarin de teller positief is en tegelijk de noemer positief is. De eerste oplossing kunnen we opschrijven als interval ⟨ ← , 2⟩, de tweede oplossing kunnen we opschrijven als interval ⟨0, → ⟩. Nu nemen we de doorsnede van deze intervallen:

   $$⟨\leftarrow ,2⟩\cap ⟨0,\to ⟩=⟨0,2⟩$$

   Dat is een volgende oplossing van de ongelijkheid. Als je getallen uit dit interval invult, klopt de ongelijkheid. Als we bijvoorbeeld voor x invullen x = 1, een getal uit het interval ⟨0, 2⟩, krijgen we de ongelijkheid $\frac{2}{1}+3>4$, en dat is gelijk aan 5 > 4. Nu moeten we nog het geval onderzoeken waarin de teller en de noemer allebei negatief zijn.

2. In het geval dat de teller en de noemer allebei negatief moeten zijn, lossen we de ongelijkheden op:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Weer lossen we snel de ongelijkheid 2 − x < 0 op:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   De tweede oplossing is weer gewoon x < 0. We schrijven op in intervallen: ⟨2, → ⟩ en ⟨ ← , 0⟩ en nemen de doorsnede:

   $$⟨2,\to ⟩\cap ⟨\leftarrow ,0⟩=\mathrm{\varnothing }$$

   We hebben de lege verzameling gekregen. Wat betekent dat? Dat de breuk $\frac{2-x}{x}$ nooit een negatieve teller en tegelijk een negatieve noemer kan hebben.

De beide vorige resultaten voegen we alleen nog samen tot de vereniging en we krijgen de uiteindelijke verzameling S:

$$S=⟨0,2⟩\cup \mathrm{\varnothing }=⟨0,2⟩$$

Aan de ongelijkheid $\frac{2}{x}+3>4$ is voldaan voor alle x uit het interval ⟨0, 2⟩. We kunnen een grafiek tekenen waarin we de functies $f(x)=\frac{2}{x}+3$ en g(x) = 4 weergeven:

We zien dat de rode grafiek van de functie $f(x)=\frac{2}{x}+3$ boven de blauwe grafiek van de functie g(x) = 4 ligt precies in het interval ⟨0, 2⟩.

Lineaire ongelijkheid met een absolute waarde

Iets meer lol zit er in ongelijkheden die een absolute waarde bevatten. Je moet namelijk apart uitrekenen wanneer de uitdrukking binnen de absolute waarde positief is en het teken dus niet verandert en wanneer de uitdrukking negatief is en het teken wel verandert: er ontstaan in feite twee ongelijkheden in één. Een eenvoudig voorbeeld:

$$|x+5|<12$$

Allereerst moeten we het nulpunt bepalen. Dat is het getal waarvoor de hele uitdrukking binnen de absolute waarde na invullen gelijk is aan nul en dat dient om de intervallen te bepalen waarin het teken verandert en waarin niet. Eerst lossen we dus de vergelijking op

$$x+5=0$$

We zien dat de oplossing x = −5 is. Deze oplossing verdeelt de waarde van x in twee intervallen. In het ene neemt de functie x + 5 positieve waarden aan en in het andere negatieve. In het interval ⟨ ← , −5⟩ krijgen we dus negatieve getallen en in het interval [−5, → ⟩ positieve, of liever gezegd niet-negatieve. Ter illustratie: op de eerste regel staat een getal uit het eerste interval, op de tweede uit het tweede:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Wat zegt ons dat? Dat als we voor x een waarde invullen die groter is dan min vijf, de absolute waarde de uitkomst niet verandert, omdat x + 5 een positief getal zal zijn. Omgekeerd, als de waarde van x kleiner is dan min vijf, is de uitkomst van x + 5 negatief en verandert de absolute waarde die in een positief getal. Daarom moeten we in de ongelijkheid deze twee gevallen onderscheiden.

Eerst rekenen we dus de oplossing uit in het geval dat we x uit het interval [−5, → ⟩ nemen. Nu verandert het teken niet, want we halen alleen de absolute waarde weg.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & ⟨\leftarrow ,7⟩\end{array}$$

We hebben bijna de eerste oplossing. We moeten namelijk nog de doorsnede nemen met het interval waaruit we x op dit moment kiezen. We werken namelijk in het interval [−5, → ⟩, dus de oplossing van deze lineaire ongelijkheid kan bijvoorbeeld niet x = −15 zijn, omdat die niet in ons interval valt. We moeten dus de doorsnede nemen:

$$[-5,\to ⟩\cap ⟨\leftarrow ,7⟩=[-5,7⟩$$

Dat is de eerste oplossing. Nu moeten we de oplossing uitrekenen in het geval dat we x uit het interval ⟨ ← , −5⟩ nemen. In dit interval verandert de absolute waarde het teken. Als we de absolute waarde uit de ongelijkheid willen weghalen, moeten we de verandering van het teken zelf regelen, dus we vermenigvuldigen de uitdrukking onder de absolute waarde met het getal −1, waarmee we het teken van de uitdrukking veranderen. We schrijven het dus zo om:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Bij de ongelijkheid tellen we 5 op:

$$-x<17$$

En we vermenigvuldigen met −1:

$$x>-17$$

We krijgen dus de oplossing:

$$x\in ⟨-17,\to ⟩$$

Maar net als daarnet: we kiezen de waarde van x uit het interval ⟨ ← , −5⟩, dus we moeten nog de doorsnede van dit interval met onze oplossing nemen:

$$⟨-17,\to ⟩\cap ⟨\leftarrow ,-5⟩=⟨-17,-5⟩$$

Nu hebben we beide oplossingen, die we alleen nog samenvoegen tot de vereniging:

$$x\in [-5,7⟩\cup ⟨-17,-5⟩=⟨-17,7⟩$$

Ter controle kunnen we naar de grafieken van deze functies kijken:

Nog een paar woorden over wanneer je een gesloten en wanneer een open interval gebruikt. Als we een strikte ongelijkheid hebben, dus x>0, gebruiken we een open interval, omdat x niet gelijk kan zijn aan nul. Als we geen strikte ongelijkheid hebben, x ≥ 0, gebruiken we een gesloten interval, omdat x gelijk kan zijn aan nul. Als je bijvoorbeeld in de ongelijkheid die we zojuist hebben opgelost x = 7 invult, wat “net” niet in de oplossing van de ongelijkheid zit, krijg je:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

De ongelijkheid klopt niet, 12 is niet kleiner dan 12.