Overfladeareal af kegle

Overfladearealet af en kegle fortæller os helt enkelt, hvor meget papir eller blik vi bruger, når vi vil lave hele keglen eller beklæde den. Forveksl det ikke med keglens rumfang, som angiver, hvor meget vand der er plads til i keglen. En kegle består af to dele: nederst en cirkulær grundflade og over den en krum overflade, som løber sammen i en spids.

Grundfladens radius r er på figuren rød, højden h blå og keglens sidelinje s grøn — den måler afstanden fra spidsen til grundfladens kant.

Formel for overfladearealet af en kegle

Hvis du kun skal bruge formlen, så beregner du overfladearealet O af en kegle, hvis grundflade har radius r, og hvis sidelinje måler s, sådan her

$$O=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot s$$

Det første led er grundfladens areal, det andet arealet af den krumme overflade. Nogle gange skrives formlen også med π · r sat uden for parentes:

$$O=\pi \cdot r\cdot (r+s)$$

Lad os tage en kegle med grundfladens radius r = 3 og sidelinjen s = 5. Dens overfladeareal er

$$O=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Hvis du vil skrive resultatet som et almindeligt tal i stedet for med pi, så indsæt den tilnærmede værdi 3,14:

$$O\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Hvordan kom vi frem til det?

Grundfladen er en almindelig cirkelskive, så dens areal kender vi fra formlen for arealet af en cirkel: π · r².

Med den krumme overflade er det mere interessant. Hvis vi klipper den op langs sidelinjen og lægger den ud på et bord, får vi et cirkeludsnit med radius s. Figuren viser hele keglens net: det røde cirkeludsnit er den krumme overflade, den blå cirkelskive er grundfladen. På figuren bliver nettet foldet sammen til en kegle og igen foldet ud.

Udsnittets orange cirkelbue var før opklipningen kanten af grundfladen, og derfor er den lige så lang som den orange cirkel forneden, altså cirklens omkreds 2π r. Hele cirklen med radius s ville måle 2π s. Af den fulde cirkelskive med radius s udgør udsnittet præcis den del, som buen udgør af hele cirklen:

$$\frac{2\pi r}{2\pi s}=\frac{r}{s}$$

For keglen fra det foregående eksempel er det tre femtedele af cirkelskiven, ligesom på figuren. Hele cirkelskiven ville have arealet π · s², og den krumme overflade tager af den andelen $\frac{r}{s}$:

$$A_{\mathrm{k}}=\frac{r}{s}\cdot \pi \cdot s^2=\pi \cdot r\cdot s$$

Lægger vi grundfladen til den krumme overflade, får vi hele formlen O = π · r² + π · r · s.

Eksempel: papirhat

Der er en fest på vej, og vi vil lave en papirhat i form af en kegle til den. Nederst skal den have radius 8 cm, og højden skal være 15 cm. Hvor meget papir bruger vi til den?

Formlen kræver dog sidelinjen s og ikke højden. Men højden, radius og sidelinjen danner en retvinklet trekant, så sidelinjen beregner vi ved hjælp af Pythagoras' sætning. Vi indsætter r = 8 og h = 15:

$$s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Vi kvadrerer:

$$s=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Tilbage er at uddrage kvadratroden:

$$s=17$$

Her venter en fælde: hatten har ingen bund. Hvis man brugte hele formlen, ville man lave en hat med grundflade, og den er ret svær at have på. Vi beregner derfor kun den krumme overflade:

$$A_{\mathrm{k}}=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Vi indsætter den tilnærmede værdi af pi:

$$A_{\mathrm{k}}\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Til hatten bruger vi cirka 427 kvadratcentimeter papir, plus et lille stykke ekstra til at klistre den sammen.

Beregner

Indtast grundfladens radius og sidelinjen; du kan skifte enhed ved hvert felt. Beregneren bruger den nøjagtige værdi af pi og får derfor et resultat, der er lidt større end 75,36.

Se også

• Rumfang af kegle
• Cirkeludsnit
• Overfladeareal af cylinder
• Overfladeareal af pyramide