Εμβαδόν επιφάνειας κώνου

Το εμβαδόν της επιφάνειας του κώνου μας λέει, με απλά λόγια, πόσο χαρτί ή λαμαρίνα χρειαζόμαστε αν θέλουμε να φτιάξουμε ολόκληρο τον κώνο ή να τον καλύψουμε. Μην το μπερδεύεις με τον όγκο του κώνου, που δείχνει πόσο νερό χωράει μέσα στον κώνο. Ο κώνος έχει δύο μέρη: κάτω την κυκλική βάση και από πάνω την παράπλευρη επιφάνεια, που συγκλίνει στην κορυφή.

Η ακτίνα της βάσης R φαίνεται στο σχήμα με κόκκινο, το ύψος υ με μπλε και η γενέτειρα του κώνου λ με πράσινο – είναι η απόσταση από την κορυφή ως την άκρη της βάσης.

Τύπος για το εμβαδόν της επιφάνειας του κώνου

Αν ψάχνεις μόνο τον τύπο, το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας E_ολ ενός κώνου, του οποίου η βάση έχει ακτίνα R και η γενέτειρα έχει μήκος λ, το υπολογίζεις ως

$$E_{o\lambda }=\pi \cdot R^2+\pi \cdot R\cdot \lambda$$

Ο πρώτος προσθετέος είναι το εμβαδόν της βάσης, ο δεύτερος το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας. Μερικές φορές ο τύπος γράφεται και με κοινό παράγοντα το π · R:

$$E_{o\lambda }=\pi \cdot R\cdot (R+\lambda )$$

Πάρε έναν κώνο με ακτίνα βάσης R = 3 και γενέτειρα λ = 5. Το εμβαδόν της επιφάνειάς του είναι

$$E_{o\lambda }=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Αν θέλεις να γράψεις το αποτέλεσμα ως συνηθισμένο αριθμό αντί για έκφραση με το π, αντικατέστησε το π με την προσεγγιστική τιμή 3,14:

$$E_{o\lambda }\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Πώς φτάσαμε σε αυτόν;

Η βάση είναι ένας συνηθισμένος κύκλος, οπότε το εμβαδόν της το ξέρουμε από τον τύπο για το εμβαδόν κύκλου: π · R².

Με την παράπλευρη επιφάνεια το θέμα είναι πιο ενδιαφέρον. Αν την κόψουμε κατά μήκος μιας γενέτειρας και την ανοίξουμε πάνω στο τραπέζι, παίρνουμε έναν κυκλικό τομέα με ακτίνα λ. Το σχήμα δείχνει ολόκληρο το ανάπτυγμα του κώνου: ο κόκκινος τομέας είναι η παράπλευρη επιφάνεια, ο μπλε κύκλος η βάση. Στο σχήμα το ανάπτυγμα διπλώνει σε κώνο και ξανανοίγει.

Το πορτοκαλί τόξο του τομέα ήταν πριν από το κόψιμο το χείλος της βάσης, γι' αυτό έχει το ίδιο μήκος με τον πορτοκαλί κύκλο κάτω, δηλαδή το μήκος κύκλου 2π R. Ένας ολόκληρος κύκλος με ακτίνα λ θα είχε μήκος 2π λ. Ο τομέας είναι ακριβώς τόσο μέρος του ολόκληρου κυκλικού δίσκου με ακτίνα λ, όσο μέρος του ολόκληρου κύκλου είναι το τόξο:

$$\frac{2\pi R}{2\pi \lambda }=\frac{R}{\lambda }$$

Στον κώνο του προηγούμενου παραδείγματος είναι τα τρία πέμπτα του δίσκου, όπως και στο σχήμα. Ολόκληρος ο δίσκος θα είχε εμβαδόν π · λ² και η παράπλευρη επιφάνεια παίρνει από αυτόν το μέρος $\frac{R}{\lambda }$:

$$E_{\pi }=\frac{R}{\lambda }\cdot \pi \cdot {\lambda }^2=\pi \cdot R\cdot \lambda$$

Αν προσθέσουμε στην παράπλευρη επιφάνεια και τη βάση, παίρνουμε ολόκληρο τον τύπο E_ολ = π · R² + π · R · λ.

Παράδειγμα: ένα χάρτινο καπελάκι

Ετοιμάζεται ένα πάρτι και θέλουμε να φτιάξουμε για αυτό ένα χάρτινο καπελάκι σε σχήμα κώνου. Κάτω πρέπει να έχει ακτίνα 8 cm και το ύψος του να είναι 15 cm. Πόσο χαρτί θα χρειαστούμε;

Ο τύπος όμως θέλει τη γενέτειρα λ και όχι το ύψος. Το ύψος, η ακτίνα και η γενέτειρα σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο, οπότε τη γενέτειρα την υπολογίζουμε με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αντικαθιστούμε R = 8 και υ = 15:

$$\lambda =\sqrt{R^2+{\upsilon }^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Υψώνουμε στο τετράγωνο:

$$\lambda =\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Μένει να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα:

$$\lambda =17$$

Εδώ μας περιμένει μια παγίδα: το καπελάκι δεν έχει πάτο. Όποιος έπαιρνε τον πλήρη τύπο, θα έφτιαχνε καπελάκι με βάση, και αυτό φοριέται αρκετά άβολα. Υπολογίζουμε λοιπόν μόνο την παράπλευρη επιφάνεια:

$$E_{\pi }=\pi \cdot R\cdot \lambda =\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Αντικαθιστούμε την προσεγγιστική τιμή του π:

$$E_{\pi }\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Για το καπελάκι θα χρειαστούμε περίπου 427 τετραγωνικά εκατοστά χαρτί, και λίγο παραπάνω για να το κολλήσουμε.

Αριθμομηχανή

Δώσε την ακτίνα της βάσης και τη γενέτειρα, και τις μονάδες μπορείς να τις αλλάξεις σε κάθε πεδίο. Η αριθμομηχανή χρησιμοποιεί την ακριβή τιμή του π και γι' αυτό το αποτέλεσμα βγαίνει λίγο μεγαλύτερο από 75,36.

Δες επίσης

• Όγκος κώνου
• Κυκλικός τομέας
• Εμβαδόν επιφάνειας κυλίνδρου
• Εμβαδόν επιφάνειας πυραμίδας