Oppervlakte van een kegel

De oppervlakte van een kegel vertelt ons, eenvoudig gezegd, hoeveel papier of plaatstaal we nodig hebben als we de hele kegel willen maken of bekleden. Verwar hem niet met de inhoud van een kegel, die aangeeft hoeveel water er in de kegel past. Een kegel heeft twee delen: onderaan een cirkelvormig grondvlak en daarboven de mantel, die toeloopt naar de top.

De straal r van het grondvlak is in de afbeelding rood, de hoogte h blauw en de beschrijvende lijn s van de kegel groen — die meet de afstand van de top tot de rand van het grondvlak.

Formule voor de oppervlakte van een kegel

Wil je alleen de formule, dan bereken je de totale oppervlakte opp. van een kegel waarvan het grondvlak straal r heeft en waarvan de beschrijvende lijn lengte s heeft als

$$\text{opp.}=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot s$$

De eerste term is de oppervlakte van het grondvlak, de tweede de oppervlakte van de mantel. Soms schrijft men de formule ook met π · r buiten haakjes gehaald:

$$\text{opp.}=\pi \cdot r\cdot (r+s)$$

Neem een kegel met straal van het grondvlak r = 3 en beschrijvende lijn s = 5. Zijn oppervlakte is

$$\text{opp.}=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Wil je de uitkomst als gewoon getal opschrijven in plaats van met pi, vul dan de benaderde waarde 3,14 in:

$$\text{opp.}\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Hoe komen we hieraan?

Het grondvlak is een gewone cirkelschijf, de oppervlakte ervan kennen we dus uit de formule voor de oppervlakte van een cirkelschijf: π · r².

Met de mantel is het interessanter. Knippen we hem langs de beschrijvende lijn open en leggen we hem plat op tafel, dan krijgen we een cirkelsector met straal s. De afbeelding toont het hele net van de kegel: de rode sector is de mantel, de blauwe cirkelschijf het grondvlak. In de afbeelding wordt het net tot een kegel gevouwen en weer uitgevouwen.

De oranje boog van de sector was voor het openknippen de rand van het grondvlak, daarom is hij even lang als de oranje cirkel onderaan, dus de omtrek van de cirkel 2π r. De hele cirkel met straal s zou 2π s lang zijn. De sector is van de hele cirkelschijf met straal s precies het deel dat de boog is van de hele cirkel:

$$\frac{2\pi r}{2\pi s}=\frac{r}{s}$$

Bij de kegel uit het vorige voorbeeld zijn het drie vijfde van de cirkelschijf, net als in de afbeelding. De hele cirkelschijf zou oppervlakte π · s² hebben, de mantel neemt daarvan het deel $\frac{r}{s}$:

$${\text{opp.}}_{\text{mantel}}=\frac{r}{s}\cdot \pi \cdot s^2=\pi \cdot r\cdot s$$

Tellen we bij de mantel nog het grondvlak op, dan krijgen we de hele formule opp. = π · r² + π · r · s.

Voorbeeld: een papieren feesthoedje

Er komt een feestje aan en we willen daarvoor een papieren feesthoedje in de vorm van een kegel maken. Onderaan moet het een straal van 8 cm hebben, de hoogte moet 15 cm zijn. Hoeveel papier hebben we ervoor nodig?

De formule wil echter de beschrijvende lijn s, en niet de hoogte. Maar de hoogte, de straal en de beschrijvende lijn vormen een rechthoekige driehoek, dus de beschrijvende lijn berekenen we met de stelling van Pythagoras. We vullen r = 8 en h = 15 in:

$$s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

We kwadrateren:

$$s=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Nog de wortel trekken:

$$s=17$$

Hier wacht ons een valkuil: het hoedje heeft geen bodem. Wie naar de hele formule grijpt, maakt een hoedje met een grondvlak, en dat draagt vrij slecht. We berekenen dus alleen de mantel:

$${\text{opp.}}_{\text{mantel}}=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

We vullen de benaderde waarde van pi in:

$${\text{opp.}}_{\text{mantel}}\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Voor het hoedje hebben we ongeveer 427 vierkante centimeter papier nodig, plus nog een stukje extra om het dicht te plakken.

Rekenmachine

Vul de straal van het grondvlak en de beschrijvende lijn in, de eenheden kun je bij elk veld omschakelen. De rekenmachine gebruikt de exacte waarde van pi, en daarom komt er iets meer uit dan 75,36.

Zie ook

• Inhoud van een kegel
• Cirkelsector
• Oppervlakte van een cilinder
• Oppervlakte van een piramide