Pole powierzchni stożka

Pole powierzchni stożka mówi nam, po ludzku, ile papieru albo blachy zużyjemy, gdy chcemy cały stożek zrobić albo okleić. Nie myl go z objętością stożka – ta mówi, ile wody zmieści się w stożku. Stożek ma dwie części: na dole kołową podstawę, a nad nią powierzchnię boczną, która zbiega się w wierzchołku.

Promień podstawy r jest na rysunku czerwony, wysokość h niebieska, a tworząca stożka l zielona – to odległość od wierzchołka do brzegu podstawy.

Wzór na pole powierzchni stożka

Jeśli szukasz tylko wzoru: pole powierzchni całkowitej stożka P, którego podstawa ma promień r, a tworząca mierzy l, obliczysz jako

$$P=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot l$$

Pierwszy składnik to pole podstawy, drugi to pole powierzchni bocznej. Czasem wzór zapisuje się też z wyłączonym przed nawias czynnikiem π · r:

$$P=\pi \cdot r\cdot (r+l)$$

Weźmy stożek o promieniu podstawy r = 3 i tworzącej l = 5. Jego pole powierzchni wynosi

$$P=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Jeśli chcesz zapisać wynik zwykłą liczbą zamiast liczby pi, podstaw przybliżoną wartość 3,14:

$$P\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Skąd wzięliśmy ten wzór?

Podstawa to zwykłe koło, jej pole znamy więc ze wzoru na pole koła: π · r².

Z powierzchnią boczną jest ciekawiej. Gdy rozetniemy ją wzdłuż tworzącej i rozłożymy na stole, dostaniemy wycinek koła o promieniu l. Rysunek pokazuje całą siatkę stożka: czerwony wycinek to powierzchnia boczna, niebieskie koło to podstawa. Na rysunku siatka składa się w stożek i znowu rozkłada.

Pomarańczowy łuk wycinka był przed rozcięciem brzegiem podstawy, dlatego jest tak samo długi jak pomarańczowy okrąg na dole, czyli obwód okręgu 2π r. Cały okrąg o promieniu l miałby długość 2π l. Wycinek stanowi z całego koła o promieniu l dokładnie taką część, jaką łuk stanowi z całego okręgu:

$$\frac{2\pi r}{2\pi l}=\frac{r}{l}$$

W stożku z poprzedniego przykładu są to trzy piąte koła, tak jak na rysunku. Całe koło miałoby pole π · l², a powierzchnia boczna stanowi jego część $\frac{r}{l}$:

$$P_{\text{bocznej}}=\frac{r}{l}\cdot \pi \cdot l^2=\pi \cdot r\cdot l$$

Gdy do powierzchni bocznej dodamy jeszcze podstawę, dostaniemy cały wzór P = π · r² + π · r · l.

Przykład: papierowa czapeczka

Szykuje się przyjęcie i chcemy zrobić na nie papierową czapeczkę w kształcie stożka. Na dole ma mieć promień 8 cm, a wysokość ma wynosić 15 cm. Ile papieru na nią zużyjemy?

Wzór wymaga jednak tworzącej l, a nie wysokości. Wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, więc tworzącą obliczymy z twierdzenia Pitagorasa. Podstawiamy r = 8 i h = 15:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Podnosimy do kwadratu:

$$l=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Pozostaje wyciągnąć pierwiastek:

$$l=17$$

Tu czeka na nas pułapka: czapeczka nie ma dna. Kto sięgnąłby po cały wzór, zrobiłby czapeczkę z podstawą, a taką nosi się raczej niewygodnie. Obliczamy więc tylko powierzchnię boczną:

$$P_{\text{bocznej}}=\pi \cdot r\cdot l=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Podstawiamy przybliżoną wartość pi:

$$P_{\text{bocznej}}\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Na czapeczkę zużyjemy w przybliżeniu 427 centymetrów kwadratowych papieru, a do tego jeszcze trochę zapasu na sklejenie.

Kalkulator

Wpisz promień podstawy i tworzącą, jednostki możesz przełączyć przy każdym polu. Kalkulator używa dokładnej liczby pi, dlatego wyjdzie mu trochę więcej niż 75,36.

Zobacz też

• Objętość stożka
• Wycinek koła
• Pole powierzchni walca
• Pole powierzchni ostrosłupa