Oberfläche des Kegels

Die Oberfläche des Kegels sagt uns, salopp gesagt, wie viel Papier oder Blech wir brauchen, wenn wir den ganzen Kegel herstellen oder bekleben wollen. Verwechsle sie nicht mit dem Volumen des Kegels, das angibt, wie viel Wasser in den Kegel passt. Ein Kegel besteht aus zwei Teilen: unten die kreisförmige Grundfläche und darüber der Mantel, der in der Spitze zusammenläuft.

Der Radius der Grundfläche r ist in der Abbildung rot eingezeichnet, die Höhe h blau und die Mantellinie s grün – sie misst den Abstand von der Spitze zum Rand der Grundfläche.

Formel für die Oberfläche des Kegels

Wenn du nur die Formel suchst: Die Oberfläche A_O eines Kegels, dessen Grundfläche den Radius r hat und dessen Mantellinie s lang ist, berechnest du als

$$A_O=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot s$$

Der erste Summand ist der Flächeninhalt der Grundfläche, der zweite der Flächeninhalt des Mantels. Manchmal schreibt man die Formel auch mit ausgeklammertem π · r:

$$A_O=\pi \cdot r\cdot (r+s)$$

Nehmen wir einen Kegel mit dem Radius der Grundfläche r = 3 und der Mantellinie s = 5. Seine Oberfläche ist

$$A_O=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Wenn du das Ergebnis als gewöhnliche Zahl statt mit Pi schreiben möchtest, setze den Näherungswert 3,14 ein:

$$A_O\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Wie sind wir darauf gekommen?

Die Grundfläche ist ein gewöhnlicher Kreis, ihren Flächeninhalt kennen wir also aus der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises: π · r².

Beim Mantel wird es interessanter. Wenn wir ihn entlang der Mantellinie aufschneiden und auf dem Tisch ausbreiten, erhalten wir einen Kreissektor mit dem Radius s. Die Abbildung zeigt das ganze Netz des Kegels: Der rote Sektor ist der Mantel, der blaue Kreis die Grundfläche. In der Abbildung wird das Netz zu einem Kegel zusammengefaltet und wieder ausgebreitet.

Der orange Bogen des Sektors war vor dem Aufschneiden der Rand der Grundfläche, deshalb ist er genauso lang wie die orange Kreislinie unten, nämlich der Umfang des Kreises 2π r. Der ganze Kreis mit dem Radius s hätte den Umfang 2π s. Der Sektor ist genau der Teil des ganzen Kreises mit dem Radius s, der dem Anteil des Bogens am ganzen Kreisumfang entspricht:

$$\frac{2\pi r}{2\pi s}=\frac{r}{s}$$

Bei dem Kegel aus dem vorigen Beispiel sind das drei Fünftel des Kreises, genau wie in der Abbildung. Der ganze Kreis hätte den Flächeninhalt π · s², und der Mantel nimmt sich davon den Anteil $\frac{r}{s}$:

$$A_M=\frac{r}{s}\cdot \pi \cdot s^2=\pi \cdot r\cdot s$$

Wenn wir zum Mantel noch die Grundfläche addieren, erhalten wir die ganze Formel A_O = π · r² + π · r · s.

Beispiel: Papiermütze

Eine Feier steht an, und wir wollen dazu eine Papiermütze in Form eines Kegels basteln. Unten soll sie einen Radius von 8 cm haben, die Höhe soll 15 cm betragen. Wie viel Papier brauchen wir dafür?

Die Formel verlangt allerdings die Mantellinie s und nicht die Höhe. Höhe, Radius und Mantellinie bilden aber ein rechtwinkliges Dreieck, also berechnen wir die Mantellinie mit dem Satz des Pythagoras. Wir setzen r = 8 und h = 15 ein:

$$s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Wir quadrieren:

$$s=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Bleibt nur noch, die Wurzel zu ziehen:

$$s=17$$

Hier wartet eine Falle auf uns: Die Mütze hat keinen Boden. Wer zur ganzen Formel greift, bastelt eine Mütze mit Grundfläche, und die lässt sich ziemlich schlecht tragen. Wir berechnen also nur den Mantel:

$$A_M=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Wir setzen den Näherungswert für Pi ein:

$$A_M\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Für die Mütze brauchen wir ungefähr 427 Quadratzentimeter Papier, dazu noch ein Stückchen extra zum Zusammenkleben.

Rechner

Gib den Radius der Grundfläche und die Mantellinie ein, die Einheiten kannst du bei jedem Feld umschalten. Der Rechner verwendet das genaue Pi, deshalb kommt er auf etwas mehr als 75,36.

Siehe auch

• Volumen des Kegels
• Kreissektor
• Oberfläche eines Zylinders
• Oberflächeninhalt einer Pyramide