Begränsningsarea av en kon

Konens begränsningsarea talar enkelt uttryckt om hur mycket papper eller plåt som går åt när vi vill tillverka eller klä in en hel kon. Förväxla den inte med konens volym, som anger hur mycket vatten som ryms i konen. En kon har två delar: nedtill en cirkelformad bas och ovanför den en mantelyta som löper samman i en spets.

Kon med basens radie r, höjden h och sidolinjen s

Basens radie r är röd i bilden, höjden h blå och konens sidolinje s grön — den mäter avståndet från spetsen till basens kant.

Formel för konens begränsningsarea

Om du bara vill ha formeln: begränsningsarean A av en kon vars bas har radien r och vars sidolinje är s beräknar du som

$A = π \cdot r^{2} + π \cdot r \cdot s$

Den första termen är basens area, den andra mantelytans area. Ibland skrivs formeln också med π · r utbrutet:

$A = π \cdot r \cdot (r + s)$

Vi tar en kon med basens radie r = 3 och sidolinjen s = 5. Dess begränsningsarea är

$A = π \cdot 3^{2} + π \cdot 3 \cdot 5 = 9 π + 15 π = 24 π$

Om du vill skriva resultatet som ett vanligt tal i stället för med pi, sätter du in närmevärdet 3,14:

$A \approx 24 \cdot 3, 14 = 75, 36$

Hur kom vi fram till det?

Basen är en vanlig cirkel, så dess area känner vi från formeln för cirkelns area: π · r².

Med mantelytan är det mer intressant. Om vi klipper upp den längs sidolinjen och lägger ut den på bordet får vi en cirkelsektor med radien s. Bilden visar hela konens nät: den röda sektorn är mantelytan och den blå cirkeln är basen. I bilden viks nätet ihop till en kon och vecklas sedan ut igen.

Konens nät: mantelytan är en sektor med radien s, basen är en cirkel med radien r

Den orange bågen på sektorn var före uppklippningen kanten på basen, så den är lika lång som den orange cirkeln nedtill, alltså omkretsen 2π r. En hel cirkel med radien s skulle ha omkretsen 2π s. Sektorn är exakt så stor del av hela cirkelskivan med radien s som bågen är av hela cirkeln:

$\frac{2 π r}{2 π s} = \frac{r}{s}$

För konen i det föregående exemplet är det tre femtedelar av cirkeln, precis som i bilden. Hela cirkelskivan skulle ha arean π · s², och mantelytan tar ur den andelen $\frac{r}{s}$ :

$A_{m} = \frac{r}{s} \cdot π \cdot s^{2} = π \cdot r \cdot s$

Om vi lägger till basen till mantelytan får vi hela formeln A = π · r² + π · r · s.

Exempel: partyhatt

Vi ska fira och vill göra en partyhatt av papper i form av en kon. Nedtill ska den ha radien 8 cm och höjden ska vara 15 cm. Hur mycket papper går åt?

Partyhatt av papper i form av en kon: radie r = 8, höjd h = 15, sidolinje s

Formeln vill dock ha sidolinjen s, inte höjden. Men höjden, radien och sidolinjen bildar en rätvinklig triangel, så sidolinjen kan vi beräkna med Pythagoras sats. Vi sätter in r = 8 och h = 15:

$s = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{8^{2} + 15^{2}}$

Vi kvadrerar:

$s = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}$

Sedan återstår att dra roten ur:

$s = 17$

Här väntar en fälla: hatten har ingen botten. Den som använde hela formeln skulle göra en hatt med bas, och den är ganska svår att ha på sig. Vi beräknar alltså bara mantelytan:

$A_{m} = π \cdot r \cdot s = π \cdot 8 \cdot 17 = 136 π$

Vi sätter in närmevärdet för pi:

$A_{m} \approx 136 \cdot 3, 14 = 427, 04$

Till hatten går det åt ungefär 427 kvadratcentimeter papper, plus en liten bit extra till limning.

Miniräknare

Ange basens radie och sidolinjen, och du kan byta enhet vid varje fält. Miniräknaren använder det exakta värdet av pi, och därför blir resultatet något större än 75,36.

Se även

Kapitel: Area av en kvadrat, Area av en rektangel, Cirkelns area, Cirkelsektor, Area av ett parallelltrapets, Area av ett parallellogram, Area av en romb, Area av en regelbunden månghörning, Klotets area, Begränsningsarea av en kub, Begränsningsarea av ett rätblock, Begränsningsarea av en cylinder, Begränsningsarea av en kon, Begränsningsarea av en pyramid

« Föregående: Begränsningsarea av en cylinder

Nästa: Begränsningsarea av en pyramid »