Kartion pinta-ala

Kartion pinta-ala kertoo yksinkertaisesti sen, kuinka paljon paperia tai peltiä kuluu, kun koko kartio halutaan valmistaa tai päällystää. Älä sekoita sitä kartion tilavuuteen, joka kertoo, kuinka paljon vettä kartioon mahtuu. Kartiolla on kaksi osaa: alhaalla ympyrän muotoinen pohja ja sen yläpuolella vaippa, joka kapenee kärkeen.

Kartio, jonka pohjan säde on r, korkeus h ja sivujana s

Pohjan säde r on kuvassa punainen, korkeus h sininen ja kartion sivujana s vihreä — se mittaa etäisyyden kärjestä pohjan reunaan.

Kartion pinta-alan kaava

Jos etsit vain kaavaa, kartion, jonka pohjan säde on r ja sivujana s, pinta-ala A lasketaan kaavalla

$A = π \cdot r^{2} + π \cdot r \cdot s$

Ensimmäinen yhteenlaskettava on pohjan pinta-ala ja toinen vaipan pinta-ala. Joskus kaava kirjoitetaan myös erottamalla yhteinen tekijä π · r:

$A = π \cdot r \cdot (r + s)$

Otetaan kartio, jonka pohjan säde on r = 3 ja sivujana s = 5. Sen pinta-ala on

$A = π \cdot 3^{2} + π \cdot 3 \cdot 5 = 9 π + 15 π = 24 π$

Jos tulos halutaan kirjoittaa tavallisena lukuna piin sijasta, sijoitetaan likiarvo 3,14:

$A \approx 24 \cdot 3, 14 = 75, 36$

Miten tähän päädyttiin?

Pohja on tavallinen ympyrä, joten sen pinta-ala tunnetaan ympyrän pinta-alan kaavasta: π · r².

Vaipan kanssa on mielenkiintoisempaa. Kun se leikataan auki sivujanaa pitkin ja levitetään pöydälle, saadaan ympyrän sektori, jonka säde on s. Kuvassa näkyy koko kartion verkko: punainen sektori on vaippa ja sininen ympyrä pohja. Kuvassa verkko taittuu kartioksi ja avautuu taas.

Kartion verkko: vaippa on sektori, jonka säde on s, ja pohja on ympyrä, jonka säde on r

Sektorin oranssi kaari oli ennen leikkaamista pohjan reuna, joten se on yhtä pitkä kuin alla oleva oranssi ympyrä, eli ympyrän kehän pituus 2π r. Koko ympyrän, jonka säde on s, kehä olisi 2π s. Sektori on koko ympyrästä, jonka säde on s, täsmälleen sama osa kuin kaari on koko kehästä:

$\frac{2 π r}{2 π s} = \frac{r}{s}$

Edellisen esimerkin kartiossa se on kolme viidesosaa ympyrästä, aivan kuten kuvassa. Koko ympyrän pinta-ala olisi π · s², ja vaippa ottaa siitä osuuden $\frac{r}{s}$ :

$A_{v} = \frac{r}{s} \cdot π \cdot s^{2} = π \cdot r \cdot s$

Kun vaippaan lisätään vielä pohja, saadaan koko kaava A = π · r² + π · r · s.

Esimerkki: paperihattu

Juhlia valmistellaan, ja niitä varten halutaan tehdä kartion muotoinen paperihattu. Sen pohjan säteen pitää olla 8 cm ja korkeuden 15 cm. Kuinka paljon paperia siihen kuluu?

Kartion muotoinen paperihattu: säde r = 8, korkeus h = 15, sivujana s

Kaava tarvitsee kuitenkin sivujanan s, ei korkeutta. Korkeus, säde ja sivujana muodostavat suorakulmaisen kolmion, joten sivujana lasketaan Pythagoraan lauseella. Sijoitetaan r = 8 ja h = 15:

$s = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{8^{2} + 15^{2}}$

Korotetaan toiseen potenssiin:

$s = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}$

Jäljellä on neliöjuuri:

$s = 17$

Tässä on ansa: hatulla ei ole pohjaa. Joka tarttuisi koko kaavaan, tekisi hatun, jossa on pohja, ja sellaista on aika hankala pitää päässä. Lasketaan siis vain vaippa:

$A_{v} = π \cdot r \cdot s = π \cdot 8 \cdot 17 = 136 π$

Sijoitetaan piin likiarvo:

$A_{v} \approx 136 \cdot 3, 14 = 427, 04$

Hattuun kuluu noin 427 neliösenttimetriä paperia, ja lisäksi vähän liimausta varten.

Laskin

Anna pohjan säde ja sivujana, ja yksiköt voit vaihtaa kunkin kentän kohdalla. Laskin käyttää piin tarkkaa arvoa, ja siksi tulos on hieman suurempi kuin 75,36.

Katso myös

Luvut: Neliön pinta-ala, Suorakulmion pinta-ala, Ympyrän pinta-ala, Ympyrän sektori, Puolisuunnikkaan pinta-ala, Suunnikkaan pinta-ala, Neljäkkään pinta-ala, Säännöllisen monikulmion pinta-ala, Pallon pinta-ala, Kuution pinta-ala, Suorakulmaisen särmiön pinta-ala, Lieriön pinta-ala, Kartion pinta-ala, Pyramidin pinta-ala

« Edellinen: Lieriön pinta-ala

Seuraava: Pyramidin pinta-ala »