Площа поверхні конуса

Площа поверхні конуса, простими словами, показує, скільки паперу або бляхи піде на те, щоб виготовити або обклеїти весь конус. Не плутай її з об'ємом конуса: він показує, скільки води вміститься в конусі. Конус складається з двох частин: внизу круглої основи та над нею бічної поверхні, яка сходиться у вершину.

Конус з радіусом основи r, висотою h і твірною l

Радіус основи r на рисунку червоний, висота h синя, а твірна конуса l зелена — це відстань від вершини до краю основи.

Формула площі поверхні конуса

Якщо тобі потрібна лише формула, то площу поверхні S конуса, основа якого має радіус r, а твірна дорівнює l, обчислиш так:

$S = π \cdot r^{2} + π \cdot r \cdot l$

Перший доданок — це площа основи, другий — площа бічної поверхні. Іноді формулу записують і з винесеним за дужки множником π · r:

$S = π \cdot r \cdot (r + l)$

Візьмемо конус з радіусом основи r = 3 і твірною l = 5. Площа його поверхні дорівнює

$S = π \cdot 3^{2} + π \cdot 3 \cdot 5 = 9 π + 15 π = 24 π$

Якщо хочеш записати результат звичайним числом, а не зі сталою пі, підстав наближене значення 3,14:

$S \approx 24 \cdot 3, 14 = 75, 36$

Як ми до цього дійшли?

Основа — це звичайний круг, тож її площу ми знаємо з формули площі круга: π · r².

З бічною поверхнею цікавіше. Якщо розрізати її вздовж твірної та розкласти на столі, вийде круговий сектор з радіусом l. Рисунок показує всю розгортку конуса: червоний сектор — це бічна поверхня, синій круг — основа. На рисунку розгортка складається в конус і знову розкладається.

Розгортка конуса: бічна поверхня — це сектор з радіусом l, основа — круг з радіусом r

Помаранчева дуга сектора до розрізання була краєм основи, тому вона має таку саму довжину, як помаранчеве коло внизу, тобто довжина кола 2π r. Повне коло з радіусом l мало б довжину 2π l. Сектор становить від повного круга з радіусом l рівно таку частину, яку дуга становить від повного кола:

$\frac{2 π r}{2 π l} = \frac{r}{l}$

У конуса з попереднього прикладу це три п'ятих круга, як і на рисунку. Повний круг мав би площу π · l², а бічна поверхня займає від нього частку $\frac{r}{l}$ :

$S_{б} = \frac{r}{l} \cdot π \cdot l^{2} = π \cdot r \cdot l$

Додамо до бічної поверхні ще основу — і отримаємо повну формулу S = π · r² + π · r · l.

Приклад: паперовий ковпак

Готується свято, і ми хочемо виготовити до нього паперовий ковпак у формі конуса. Радіус унизу має бути 8 см, а висота — 15 см. Скільки паперу на нього піде?

Паперовий ковпак у формі конуса: радіус r = 8, висота h = 15, твірна l

Формула, проте, потребує твірної l, а не висоти. Але висота, радіус і твірна утворюють прямокутний трикутник, тож твірну знайдемо за теоремою Піфагора. Підставимо r = 8 і h = 15:

$l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{8^{2} + 15^{2}}$

Піднесемо до квадрата:

$l = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}$

Залишилося добути корінь:

$l = 17$

Тут на нас чекає пастка: у ковпака немає дна. Хто скористався б повною формулою, виготовив би ковпак з основою, а такий носити доволі незручно. Тож обчислимо лише бічну поверхню:

$S_{б} = π \cdot r \cdot l = π \cdot 8 \cdot 17 = 136 π$

Підставимо наближене значення пі:

$S_{б} \approx 136 \cdot 3, 14 = 427, 04$

На ковпак піде приблизно 427 квадратних сантиметрів паперу, і ще трохи про запас на склеювання.

Калькулятор

Введи радіус основи та твірну, одиниці в кожному полі можна перемикати. Калькулятор використовує точне значення пі, тому в нього вийде трохи більше за 75,36.

Див. також

Розділи: Площа квадрата, Площа прямокутника, Площа круга, Круговий сектор, Площа трапеції, Площа паралелограма, Площа ромба, Площа n-кутника, Площа поверхні кулі, Площа поверхні куба, Площа поверхні паралелепіпеда, Площа поверхні циліндра, Площа поверхні конуса, Площа поверхні піраміди

« Попередня: Площа поверхні циліндра

Наступна: Площа поверхні піраміди »