Overflate av kjegle

Overflaten av en kjegle forteller oss, enkelt sagt, hvor mye papir eller blikk vi bruker hvis vi skal lage hele kjeglen eller kle den inn. Ikke forveksle den med volumet av en kjegle, som oppgir hvor mye vann som får plass i kjeglen. Kjeglen har to deler: nederst en sirkelformet grunnflate og over den en mantelflate som går sammen i toppunktet.

Radiusen r i grunnflaten er rød på figuren, høyden h er blå og sidekanten s til kjeglen er grønn – den måler avstanden fra toppunktet til kanten av grunnflaten.

Formel for overflaten av en kjegle

Hvis du bare vil ha formelen, regner du ut overflaten O av en kjegle med radius r i grunnflaten og sidekant s slik:

$$O=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot s$$

Det første leddet er arealet av grunnflaten, det andre arealet av mantelflaten. Noen ganger skrives formelen også med π · r satt utenfor parentes:

$$O=\pi \cdot r\cdot (r+s)$$

La oss ta en kjegle med radius r = 3 i grunnflaten og sidekant s = 5. Overflaten er

$$O=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Hvis du vil skrive resultatet som et vanlig tall i stedet for med pi, setter du inn tilnærmingen 3,14:

$$O\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Hvordan kom vi fram til dette?

Grunnflaten er en vanlig sirkel, så arealet av den kjenner vi fra formelen for arealet av en sirkel: π · r².

Med mantelflaten er det mer interessant. Hvis vi klipper den opp langs sidekanten og brer den ut på et bord, får vi en sirkelsektor med radius s. Figuren viser hele nettet til kjeglen: Den røde sektoren er mantelflaten, den blå sirkelen er grunnflaten. På figuren brettes nettet sammen til en kjegle og brettes ut igjen.

Den oransje buen på sektoren var kanten av grunnflaten før vi klippet opp, derfor er den like lang som den oransje sirkelen nederst, altså omkretsen av sirkelen 2π r. En hel sirkel med radius s ville målt 2π s. Sektoren er akkurat den delen av hele sirkelskiven med radius s som buen er av hele sirkelen:

$$\frac{2\pi r}{2\pi s}=\frac{r}{s}$$

For kjeglen fra det forrige eksempelet er det tre femdeler av sirkelskiven, akkurat som på figuren. Hele sirkelskiven ville hatt arealet π · s², og mantelflaten utgjør andelen $\frac{r}{s}$ av den:

$$M=\frac{r}{s}\cdot \pi \cdot s^2=\pi \cdot r\cdot s$$

Hvis vi legger grunnflaten til mantelflaten, får vi hele formelen O = π · r² + π · r · s.

Eksempel: papirlue

Det skal feires, og vi vil lage en festlue av papir i form av en kjegle. Nederst skal den ha radius 8 cm, og høyden skal være 15 cm. Hvor mye papir går det med?

Formelen krever imidlertid sidekanten s, og ikke høyden. Men høyden, radiusen og sidekanten danner en rettvinklet trekant, så sidekanten kan vi regne ut med Pytagoras' setning. Vi setter inn r = 8 og h = 15:

$$s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Vi regner ut potensene:

$$s=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Det gjenstår å ta kvadratroten:

$$s=17$$

Her venter en felle: Lua har ingen bunn. Den som brukte hele formelen, ville laget en lue med grunnflate, og den er ganske upraktisk å ha på hodet. Vi regner derfor bare ut mantelflaten:

$$M=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Vi setter inn tilnærmingen for pi:

$$M\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Til lua går det med omtrent 427 kvadratcentimeter papir, pluss litt ekstra til å lime sammen med.

Kalkulator

Skriv inn radiusen i grunnflaten og sidekanten, og du kan bytte enhet ved hvert felt. Kalkulatoren bruker den nøyaktige verdien av pi, og derfor får den litt mer enn 75,36.

Se også

• Volum av kjegle
• Sirkelsektor
• Overflate av sylinder
• Overflate av pyramide