Inequação do 1º grau

Uma inequação do 1º grau se resolve com transformações parecidas com as que você usa para calcular uma equação do 1º grau comum. Uma inequação do 1º grau tem, em geral, esta forma: ax + b>0 (ou então menor que, maior ou igual a, e menor ou igual a). Agora basta transformar a inequação na forma seguinte e o resultado está pronto: x>−b/a. Naturalmente supomos que a>0. Para a negativo, ao dividir, o sinal de desigualdade se inverteria e obteríamos x<−b/a.

Inequação do 1º grau comum

Uma inequação do 1º grau pode ser resolvida com transformações equivalentes de inequações.

• Um exemplo simples pode ser assim:

  $$3x+9>3$$

  Primeiro passamos todas as expressões sem incógnita para o segundo membro. Então somamos à inequação o número −9 e obtemos a inequação:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Em seguida dividimos a inequação inteira por três:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Esse é o resultado da inequação toda. A inequação tem solução para todos os x > −2.

  Poderíamos resolver a inequação também graficamente. Se temos a inequação 3x + 9 > 3, desenhamos os gráficos de duas funções: a do primeiro e a do segundo membro da inequação. Obtemos as funções f(x) = 3x + 9 e g(x) = 3. Os gráficos delas são assim:

  

  Vemos que esses gráficos se cruzam em um ponto x₁, cuja abscissa é exatamente −2. Vemos também que, para todo x > x₁, isto é, para todo x do intervalo ]−2, +∞[, a função vermelha 3x + 9 está “acima” da função azul 3 (aqui “acima” no sentido de “tem ordenada maior”). O que concorda com o resultado a que chegamos há pouco.

• Às vezes é conveniente, se há muitos sinais de menos, multiplicar a inequação inteira por menos um. Nesse caso, além dos próprios valores da inequação, você precisa inverter também o sinal de desigualdade: transformar “maior que” em “menor que” e vice-versa:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Isso vale, naturalmente, sempre que você multiplica a inequação inteira por qualquer número negativo. Então mais um exemplo rápido:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  No primeiro passo, somamos normalmente −2x à inequação, passando assim todas as expressões com a variável para o primeiro membro. Ao mesmo tempo subtraímos oito, passando as constantes para o segundo membro. Depois só multiplicamos a inequação inteira por $-\frac{1}{5}$.

  Para ilustrar, observe a solução gráfica da inequação, em que desenhamos duas funções f(x) = −3x + 8 e g(x) = 2x − 7.

  

  Vemos que o gráfico vermelho da função −3x + 8 fica abaixo do gráfico azul da função 2x − 7 sempre que x > 3.

Variável no denominador

Uma inequação do 1º grau que contém frações com variável no denominador se resolve de um modo um pouco mais complicado. Um exemplo pode ser a inequação:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Não podemos multiplicar a inequação pela incógnita no denominador, porque não conhecemos o sinal dela. Se o valor da variável fosse negativo, teríamos de inverter o sinal de desigualdade. Por isso não podemos nos dar ao luxo de simplesmente multiplicar a inequação pela variável do denominador. Não seria uma transformação equivalente de inequações.

Começamos a transformar a inequação de modo a obter uma única fração no primeiro membro e zero no segundo. Então primeiro somamos −4 à inequação, e obtemos a forma:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Agora precisamos reunir a expressão do primeiro membro em uma só fração. Multiplicamos o número −1 pela fração $\frac{x}{x}$, levando as duas expressões ao denominador comum, e depois apenas somamos as frações:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Agora estamos diante da pergunta: quando a fração é positiva? A fração é positiva se o numerador e o denominador são positivos, ou se o numerador e o denominador são negativos. Se um deles é positivo e o outro é negativo, a fração é negativa. Se temos, por exemplo, a fração $\frac{4}{3}$, a fração toda representa um número positivo. Se temos a fração $\frac{-3}{4}$, a fração representa um número negativo. A fração $\frac{-3}{-4}$ representa de novo um número positivo, porque os sinais de menos se cancelam. Em geral podemos escrever:

$$\begin{array}{rcl}\frac{positivo}{positivo}& =& positivo\\ \frac{positivo}{negativo}& =& negativo\\ \frac{negativo}{positivo}& =& negativo\\ \frac{negativo}{negativo}& =& positivo\end{array}$$

Teremos, então, de resolver dois conjuntos de inequações. Começamos descobrindo quando o numerador e o denominador são ambos positivos:

1. Para que o numerador e o denominador sejam positivos, as duas inequações devem valer ao mesmo tempo:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   Na primeira inequação, apenas passamos o 2 para o outro membro e multiplicamos por −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Temos a solução da primeira inequação. Na segunda inequação, x > 0, não há mais o que resolver. Agora precisamos fazer a interseção dessas soluções, porque nos interessam os casos em que as duas soluções valem ao mesmo tempo, isto é, quando o numerador é positivo e, ao mesmo tempo, o denominador é positivo. Podemos escrever a primeira solução como o intervalo ]−∞, 2[ e a segunda como o intervalo ]0, +∞[. Agora fazemos a interseção desses intervalos:

   $$]-\mathrm{\infty },2[\cap ]0,+\mathrm{\infty }[=]0,2[$$

   Essa é mais uma solução da inequação. Se você substituir números desse intervalo, a inequação será verdadeira. Por exemplo, quando fazemos x = 1, que é um número do intervalo ]0, 2[, obtemos a inequação $\frac{2}{1}+3>4$, que é igual a 5 > 4. Agora falta investigar o caso em que o numerador e o denominador são ambos negativos.

2. No caso em que o numerador e o denominador devem ser negativos, resolvemos as inequações:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   De novo resolvemos rapidamente a inequação 2 − x < 0:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   A segunda solução é, de novo, simplesmente x < 0. Escrevemos em intervalos: ]2, +∞[ e ]−∞, 0[, e fazemos a interseção:

   $$]2,+\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty },0[=\mathrm{\varnothing }$$

   Obtivemos o conjunto vazio. O que isso significa? Que a fração $\frac{2-x}{x}$ nunca pode ter numerador negativo e, ao mesmo tempo, denominador negativo.

Agora só unimos os dois resultados anteriores e obtemos o conjunto solução final S:

$$S=]0,2[\cup \mathrm{\varnothing }=]0,2[$$

A inequação $\frac{2}{x}+3>4$ tem solução para todos os x do intervalo ]0, 2[. Podemos desenhar um gráfico em que mostramos as funções $f(x)=\frac{2}{x}+3$ e g(x) = 4:

Vemos que o gráfico vermelho da função $f(x)=\frac{2}{x}+3$ fica acima do gráfico azul da função g(x) = 4 exatamente no intervalo ]0, 2[.

Inequação do 1º grau com valor absoluto

Um pouco mais divertidas costumam ser as inequações que contêm valor absoluto. É que você precisa calcular separadamente quando a expressão em valor absoluto é positiva, e por isso o sinal não muda, e quando a expressão é negativa e o sinal muda: surgem, no fundo, duas inequações em uma. Então um exemplo simples:

$$|x+5|<12$$

Antes de tudo precisamos determinar o zero, que é o número que, depois de substituído, faz toda a expressão em valor absoluto ser igual a zero e serve para determinar os intervalos em que o sinal muda e em que não muda. Então, primeiro resolvemos a equação

$$x+5=0$$

Vemos que o resultado é x = −5. Esse resultado divide os valores de x em dois intervalos. Em um, a função x + 5 assume valores positivos e, no outro, negativos. Assim, no intervalo ]−∞, −5[ obtemos números negativos e, no intervalo [−5, +∞[, positivos, ou melhor, não negativos. Para demonstrar, na primeira linha está um número do primeiro intervalo e, na segunda, do segundo:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

O que isso nos diz? Que, se substituímos x por um valor maior que menos cinco, o valor absoluto não altera o resultado, porque x + 5 será um número positivo. Ao contrário, se o valor de x for menor que menos cinco, o resultado de x + 5 será negativo e o valor absoluto o transformará em positivo. Por isso precisamos distinguir na inequação esses dois casos.

Primeiro calculamos, então, o resultado no caso em que tomamos x do intervalo [−5, +∞[. Nesse momento o sinal não muda, porque apenas eliminamos o valor absoluto.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & ]-\mathrm{\infty },7[\end{array}$$

Temos quase a primeira solução. Precisamos ainda fazer a interseção com o intervalo do qual estamos tomando x no momento. Estamos trabalhando, de fato, no intervalo [−5, +∞[, então a solução dessa inequação do 1º grau não pode ser, por exemplo, x = −15, porque ele não pertence ao nosso intervalo. Precisamos, portanto, fazer a interseção:

$$[-5,+\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty },7[=[-5,7[$$

Esse é o primeiro resultado. Agora precisamos calcular o resultado no caso em que tomamos x do intervalo ]−∞, −5[. Nesse intervalo o valor absoluto muda o sinal. Se queremos eliminar o valor absoluto da inequação, precisamos providenciar nós mesmos a mudança de sinal, isto é, multiplicamos a expressão dentro do valor absoluto pelo número −1, mudando o sinal da expressão. Então reescrevemos assim:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Somamos 5 à inequação:

$$-x<17$$

E multiplicamos por −1:

$$x>-17$$

Obtemos, então, o resultado:

$$x\in ]-17,+\mathrm{\infty }[$$

Mas, como antes, o valor de x é tomado do intervalo ]−∞, −5[, então ainda precisamos fazer a interseção desse intervalo com o nosso resultado:

$$]-17,+\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty },-5[=]-17,-5[$$

Agora já temos os dois resultados, que apenas unimos:

$$x\in [-5,7[\cup ]-17,-5[=]-17,7[$$

Para conferir, podemos olhar os gráficos dessas funções:

Mais algumas palavras sobre quando usar intervalo fechado e quando usar intervalo aberto. Se temos uma desigualdade estrita, isto é, x>0, usamos o intervalo aberto, porque x não pode ser igual a zero. Se não temos desigualdade estrita, x ≥ 0, usamos o intervalo fechado, porque x pode ser igual a zero. Por exemplo, se você substituir na inequação que acabamos de resolver x = 7, que “por pouco” não está contido na solução da inequação, obtém:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

A inequação não é verdadeira, 12 não é menor que 12.