Eşitsizliklerde Denk İşlemler

Eşitsizliklerde, eşitsizliğin geçerliliğini değiştirmeyen denk işlemleri kullanırız. Denk işlemlerin amacı, eşitsizliği daha basit bir biçime getirmektir; böylece eşitsizliğin sonucunu hesaplayabiliriz.

Eşitsizlik Nedir

f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyon verilmiş olsun. O zaman eşitsizlik, şu biçimlerden birindeki ifadelerdir:

$$\begin{array}{rcl}f(x)<g(x),& & f(x)>g(x)\\ f(x)\le g(x),& & f(x)\ge g(x)\end{array}$$

Eşitsizliğin çözümü, (genellikle) gerçek sayılar kümesinden eşitsizliği sağlayan tüm x değerleridir. Eşitsizlik örneği: 6x<12. Burada f(x) = 6x ve g(x) = 12 olur. 6x eşitsizliğin sol tarafı, 12 sağ tarafıdır. Bu eşitsizliğin çözümü 2’den küçük tüm x değerleridir: x<2. Yani (−∞, 2) aralığı.

İşaret Değişimiyle Tarafları Yer Değiştirme

Denklemlerde sol ve sağ tarafı çekinmeden yer değiştirebiliyorduk. Eşitsizliklerde bunu yapamayız. Örneğin x<5 eşitsizliğimiz varsa, aynı anda 5 < x sağlanamaz. Birincisinde x 5’ten küçüktür, ikincisinde x 5’ten büyüktür. Ancak tarafları değiştirirken aynı zamanda eşitsizlik işaretini de değiştirirsek, bu artık denk işlem olur.

Yani f(x) < g(x) eşitsizliğimiz varsa, g(x) > f(x) de yazabiliriz. Tarafları değiştirdik, ama aynı zamanda < yerine > yazdık. Küçük eşit için de benzer biçimde: f(x) ≤ g(x) eşitsizliğini g(x) ≥ f(x) biçimine getirebiliriz.

İfade Ekleme

Eşitsizliğe, eşitsizliği çözdüğümüz kümede tanımlı olan bir sayı ya da fonksiyon ekleyebiliriz. Örnek: x>0 eşitsizliğimiz var. Bu eşitsizliğe örneğin 3 sayısını ekleyebiliriz. x + 3>3 eşitsizliğini elde ederiz. Mantıklı.

Benzer biçimde bir fonksiyonun tamamını da ekleyebiliriz. x > −3x + 7 eşitsizliğimiz varsa, eşitsizliğe 3x ekleyebiliriz ve şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}x& >& -3x+7/+3x\\ x+3x& >& -3x+3x+7\\ 4x& >& 7\end{array}$$

İfadeyi elbette çıkarabiliriz de — yani negatif bir sayı ekleyebiliriz.

Eşitsizliği Pozitif İfadeyle Çarpma

Eşitsizliği, denklemlerde yapabildiğimiz gibi artık öylesine bir ifadeyle çarpamayız. Her zaman pozitif olan bir ifadeyle çarparsak sorun yok. Ama negatif bir ifadeyle çarparsak işareti değiştirmemiz gerekir (sonraki bölüme bak). Elbette denklemlerdeki gibi sıfır olan bir ifadeyle çarpmamalıyız!

Her zaman pozitif ifade ne demek? Her zaman pozitif olan en basit ifade pozitif bir sayıdır. Yani x>2 eşitsizliğimiz varsa, onu pozitif bir sayı olan 10 ile çarpabiliriz ve eşitsizliğin geçerliliği değişmez. 10x>20 eşitsizliğini elde ederiz. Elbette pozitif bir sayıya bölebiliriz de; bu yeni eşitsizliği 5’e bölerek 2x>4 eşitsizliğini elde edebiliriz.

Ama eşitsizliği öylesine x değişkeniyle çarpamayız, çünkü genel olarak x değişkeni hem pozitif hem negatif değerler alabilir ve bu kabul edilemez. Yine de x’in her zaman pozitif olduğu durumlar vardır. Örneğin bir geometri problemi hesaplıyorsak, x değişkeni bir doğru parçasının uzunluğunu temsil ediyor olabilir. Uzunluk negatif olamaz (en kötü ihtimalle sıfırdır); bu yüzden x değişkeninin bir doğru parçasının uzunluğuna eşit olacağını biliyorsak, eşitsizliği x ile çarpabiliriz.

Hiçbir zaman negatif olmayan başka bir ifade de karedir. Bir sayının karesini alırsan sonuç pozitif (ya da sıfır) olur. Yani şu eşitsizliğimiz varsa

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

onu x² ifadesiyle çarpabiliriz. Şunu elde ederiz: 1>2x². Elbette x’in sıfıra eşit olmaması koşuluyla. Her zaman pozitif olan daha fazla fonksiyon vardır. Trigonometrik fonksiyonlar olan sinüs ve kosinüsün görüntü kümesi [−1, 1] kümesidir. Bu her zaman pozitif değildir. Ama onlara 2 eklersek görüntü kümesi [1, 3] olur; bu artık pozitif bir aralıktır. Eşitsizliği böyle bir fonksiyonla çarpabiliriz. Yani şu eşitsizliğimiz olsaydı

$$\frac{x+3}{\cos (x)+3}\le 3x-5,$$

bunun tamamını cos(x) + 3 ifadesiyle çarpabilirdik, çünkü bu her zaman pozitif bir fonksiyondur. Şunu elde ederiz:

$$x+3\le (3x-5)(\cos (x)+3).$$

Eşitsizliği Her Zaman Negatif Bir İfadeyle Çarpma

Negatif sayılar ve ifadelerle durum daha karmaşıktır. Şu örneğe bak: 1<2. Bu eşitsizlik kesinlikle doğru. Peki eşitsizliğin tamamını eksi 1 ile çarparsak? −1<−2 elde ederiz. Bu eşitsizlik doğru mu? Değil, eksi 2, eksi 1’den küçüktür. Demek ki negatif bir sayıyla çarpmak eşitsizlikte denk işlem değildir.

Ancak negatif bir sayıyla çarparken aynı zamanda eşitsizlik işaretini de değiştirirsek, bu artık denk işlem olur. 1<2 eşitsizliğini −1 ile çarpıp aynı zamanda < yerine > yazarsak denk işlem yapmış oluruz ve −1>−2 eşitsizliğini elde ederiz.

Negatif sayılarla çarpmak kolaydır, asıl zor olan ifadelerle (fonksiyonlarla) çarpmaktır. Eşitsizliği neden x değişkeniyle çarpamayız? Çünkü değişken pozitif değerler alsaydı işaret değişmezdi. Negatif değerler alsaydı işareti değiştirmemiz gerekirdi. Genel olarak her iki durum da olabilir; x hiçbir biçimde sınırlandırılmamışsa değişken hem negatif hem pozitif olabilir. Örnek:

$$\frac{1}{x}>1$$

Yanlış çözüm, eşitsizliği x değişkeniyle çarpmak olurdu. Çünkü 1>x elde ederdik; yani çözüm 1’den küçük tüm x değerleri olurdu (elbette x’in sıfırdan farklı olması koşuluyla). Peki ilk eşitsizlikte x yerine −1 yazarsak? Şunu buluruz:

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{-1}& >& 1\\ -1& >& 1\end{array}$$

Bu kesinlikle doğru değil. Bu yüzden eşitsizliği öylesine x değişkeniyle çarpamayız.

Ancak önceki bölümde her zaman pozitif olan ifadelerimiz olduğu gibi, her zaman negatif olan ifadelerimiz de olabilir. Bunları en kolay, her zaman pozitif olan bir ifadenin önüne eksi işareti koyarak elde ederiz. Önceki bölümde cos(x) + 3 fonksiyonunun her zaman pozitif olduğunu belirtmiştik. İfadenin tamamının önüne eksi koyarsak her zaman negatif olan bir fonksiyon elde ederiz: −(cos(x) + 3).

Eşitsizliğin Pozitif Tam Sayı Kuvvetini ve Kökünü Alma

Eşitsizliğin kuvvetini almak, denklemlerde olduğu gibi genel olarak denk işlem değildir. Şu eşitsizliğe bak: x>−2. Karesini alırsak ne olur? x²>4 elde ederiz. Bu denk bir eşitsizlik mi? İki eşitsizlikte de x yerine sıfır yazarsak ne olur? Birincisinde 0>−2 olur, bu doğrudur. İkincisinde 0>4 olur, bu doğru değildir. Yani denk işlem yapmadık.

Eşitsizliğin pozitif tam sayı kuvvetini ne zaman alabiliriz? Her iki taraf da negatif değilse (pozitif ya da sıfırsa). O zaman sorun olmaz. Örnek:

$$\begin{array}{rcl}5& >& 2{/}^2\\ 25& >& 4\end{array}$$

Başka bir örnek, bize negatif olmayan bir sayı veren mutlak değer olabilir. Bu yüzden şu eşitsizliğin karesini rahatça alabiliriz:

$$\begin{array}{rcl}|x|& <& 3{/}^2\\ |x{|}^2& <& 9\end{array}$$

Kök de tamamen kuvvet gibi davranır. İki taraf da negatif değilse, eşitsizliğin pozitif tam sayı dereceden kökünü alabiliriz. Yani önceki eşitsizliğin kökünü alarak güzelce ilk biçimine geri döndürebiliriz:

$$\begin{array}{rcl}|x{|}^2& <& 9/\sqrt{}\\ |x|& <& 3\end{array}$$

Gereksiz İfadeleri Atma

Çoğu zaman f(x)>0 biçimindeki bir eşitsizliği çözeriz. Böyle bir durumda f fonksiyonu karmaşık olabilir ve bazı ifadeleri atarak sadeleştirilebilir. Şu eşitsizliğe bak: 2x>0. Bu eşitsizliğin çözümü açıkça x>0 olduğu durumdur. x negatifse 2x de negatiftir. Negatif bir sayıyı 2 ile çarparsak sayı negatif kalır. 2’nin, çarptığı ifadenin işaretini değiştirecek gücü yoktur.

5x>0, 157x>0 ve π x>0 eşitsizliklerini de çözmeyi deneyebiliriz. Hepsinde çözüm aynıdır: x>0. x’in önündeki pozitif katsayı eşitsizliğin geçerliliğini hiçbir biçimde değiştirmez.

Bu katsayılardan resmî olarak şöyle kurtuluruz: eşitsizliği verilen katsayıya böleriz, şöyle:

$$\begin{array}{rcl}2x& >& 0/:2\\ x& >& 0\end{array}$$

Pozitif katsayıyı (ona a diyelim) atabilmemiz için sol tarafın tamamını çarpıyor olması gerektiğine dikkat et. Şu eşitsizlikteki 2’yi atamayız: 2x + 7>0, çünkü 2 sol tarafın tamamını çarpmıyor. Ama eşitsizliğin tamamını 2’ye bölebiliriz ve x + 3,5>0 eşitsizliğini elde ederiz.

Benzer biçimde şu örnek:

$$x^2\cdot (x-3)>0$$

Karmaşık görünebilir, ancak x² ifadesi hiçbir zaman negatif olmaz; bu yüzden sonraki parantezin işaretini değiştirmez. Bu ifadeyi eşitsizlikten atabiliriz — eşitsizliği x² ile bölersek şunu elde ederiz:

$$x-3>0$$

Yalnızca x² ≠ 0 koşulunu eklememiz gerekir, çünkü sıfıra bölemeyiz. Ancak x² yalnızca x sıfır olduğunda sıfırdır ve x = 0 için eşitsizlik sağlanmaz. Gerçekten (x = 0): 0(0 − 3)>0 elde ederiz ve 0>0 doğru değildir.

Bu, ayrı bir yöntem değildir; yalnızca pozitif bir ifadeyle çarpma ve bölme hakkındaki önceki maddenin akıllıca bir uygulamasıdır.