Tổng các góc của đa giác

Cộng các góc trong của một tam giác bất kì, ta luôn được 180°, dù tam giác đó nhọn, tù hay nhỏ như con tem. Còn tứ giác, ngũ giác hay lục giác thì sao? Tổng các góc của chúng bằng bao nhiêu?

Chia đa giác thành các tam giác

Xét ngũ giác ABCDE và từ đỉnh A kẻ các đường chéo đến mọi đỉnh không nối với nó bằng một cạnh. Đó là các đường chéo AC và AD. Chúng chia ngũ giác thành ba tam giác:

Hãy để ý các góc tô màu. Mỗi góc của tam giác nằm ở một đỉnh của ngũ giác, và gộp lại chúng lấp đầy đúng các góc trong của ngũ giác, không thừa không thiếu. Ở đỉnh A có góc của cả ba tam giác, ở C và D chỉ có góc của hai tam giác. Vậy tổng các góc của ngũ giác bằng tổng các góc của ba tam giác, tức là 3 · 180°.

Với mọi đa giác lồi, kết quả hoàn toàn tương tự. Từ một đỉnh kẻ các đường chéo đến mọi đỉnh còn lại trừ hai đỉnh kề nó, và n-giác được chia thành n − 2 tam giác. Do đó tổng các góc trong của n-giác là

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Công thức này cũng đúng với đa giác không lồi, tức là đa giác có góc trong lớn hơn 180°. Những đa giác này cũng chia được thành các tam giác, chỉ có điều các đường chéo không nhất thiết xuất phát từ cùng một đỉnh.

Tứ giác có bốn đỉnh, thay n = 4:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Điều này khớp với hình vuông: bốn góc vuông của nó có tổng đúng bằng 4 · 90° = 360°.

Với ngũ giác, n = 5:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Còn lục giác, tức n = 6:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

Cứ thêm một đỉnh thì có thêm một tam giác, và tổng các góc tăng thêm 180°.

Vì sao không phải n tam giác?

Có thể cắt đa giác theo cách khác. Chọn một điểm O bên trong và nối nó với tất cả các đỉnh. Khi đó ngũ giác được chia thành năm tam giác. Rất dễ vội kết luận rằng tổng các góc bằng 5 · 180°. Nhưng như vậy là sai.

Các góc của tam giác ở điểm O không thuộc các góc trong của ngũ giác. Gộp lại chúng tạo thành góc đầy 360°, và phải trừ đi góc này:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Kết quả giống như trước. Với mọi n-giác lồi cũng được kết quả như vậy, vì 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Đa giác đều

Đa giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. Muốn tìm một góc, ta chia tổng các góc cho số góc n:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Mỗi góc của ngũ giác đều bằng 540°:5 = 108°, mỗi góc của lục giác đều bằng 720°:6 = 120°.

Loài ong xây tổ bằng các lục giác đều. Tổ ong được ghép từ các lục giác đều mà không có một khe hở nào, vì ở mỗi đỉnh có ba lục giác gặp nhau và các góc của chúng có tổng

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

tức là đúng một góc đầy.

Với ngũ giác đều thì không làm được như vậy: ba góc 108° có tổng 324°, nên còn chừa một khe hở, còn bốn góc có tổng 432°, như vậy là quá nhiều. Cách tính diện tích của đa giác đều có trong bài diện tích đa giác đều.

Tổng các góc ngoài bằng 360°

Góc ngoài tạo ra khi kéo dài một cạnh của đa giác qua đỉnh. Đó là góc giữa phần kéo dài và cạnh tiếp theo. Hãy tưởng tượng ta đi một vòng quanh ngũ giác theo các cạnh. Ở mỗi đỉnh ta rẽ một góc đúng bằng góc ngoài. Khi quay về chỗ xuất phát, ta nhìn đúng hướng như lúc đầu, tức là đã quay đúng một vòng, 360°.

Mặt đồng hồ bên phải cho biết mũi tên đã quay tổng cộng bao nhiêu.

Tính toán cũng cho kết quả như vậy. Góc trong và góc ngoài ở cùng một đỉnh là hai góc kề bù, nên tổng của chúng bằng 180°. Với n đỉnh, tổng cộng là n · 180°. Trong đó (n − 2) · 180° là tổng các góc trong, phần còn lại cho các góc ngoài là

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Số đỉnh không ảnh hưởng gì. Tổng các góc ngoài của một đa giác lồi luôn bằng 360°, dù đó là tam giác hay đa giác 100 cạnh.

Xem thêm

• Tam giác
• Diện tích đa giác đều
• Góc
• Hai tam giác bằng nhau