Khảo sát hàm số: cực trị

Cực trị của hàm số là những điểm tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất (trên toàn tập xác định hoặc trong một lân cận).

Cực trị của hàm số

Ta phân biệt hai loại cơ bản: nhỏ nhất và lớn nhất. Ngoài ra ta phân biệt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (trên toàn tập xác định) với cực đại, cực tiểu (trong một lân cận). Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm mà giá trị của hàm số ở đó lớn nhất so với mọi điểm khác của tập xác định. Nếu giá trị này chỉ đạt tại một điểm duy nhất, ta nói đó là giá trị lớn nhất chặt. Lí do là hàm số có thể đạt giá trị lớn nhất tại nhiều điểm, cũng như hai nhân viên khác nhau có thể cùng nhận mức lương cao nhất 100 triệu đồng một tháng. Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có trong bài về hàm số.

Cực tiểu thì ta chỉ xét trên một phần của tập xác định, thường là trên một khoảng nào đó. Định nghĩa cực đại và cực tiểu:

• Hàm số f đạt cực đại tại điểm M ∈ D nếu tồn tại một lân cận U = (M − ϵ; M + ϵ), với ϵ > 0, sao cho với mọi x ∈ U ∩ D ta có f(x) ≤ f(M).
• Hàm số f đạt cực tiểu tại điểm m ∈ D nếu tồn tại một lân cận U = (m − ϵ; m + ϵ), với ϵ > 0, sao cho với mọi x ∈ U ∩ D ta có f(x) ≥ f(m).

Một ví dụ về hàm số có vô số cực trị là hàm số f(x) = x · sin x:

Vì sao trong định nghĩa có “với mọi x ∈ U ∩ D”, tức là vì sao phải lấy giao với tập xác định? Chẳng hạn vì hàm số có đồ thị như sau…

…đạt cực tiểu tại điểm m = 1, nhưng trong mọi lân cận bên trái của điểm m = 1 hàm số không xác định, nên trên lân cận bên trái đó không thể có f(x) ≥ f(m). Khi lấy giao với tập xác định, ta chỉ còn lân cận bên phải.

Nguyên tắc cơ bản để tìm cực trị

Bây giờ ta quay lại đồ thị hàm số f(x) = x² + 1 cùng ba tiếp tuyến:

Ta chú ý chủ yếu đến tiếp tuyến c. Tiếp tuyến này tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực tiểu của hàm số x² + 1 và nằm ngang, tức là song song với trục hoành. Như vậy tiếp tuyến này “tạo” với chiều dương của trục hoành một góc 0°. Điều gì xảy ra nếu ta lật ngược hàm số, để thay cho cực tiểu, hàm số có cực đại? Đồ thị hàm số −x² + 1:

Ta thấy tiếp tuyến c đi qua điểm cực đại của hàm số −x² + 1 cũng song song với trục hoành. Từ đó có quy luật: khi tìm cực tiểu hoặc cực đại của hàm số, ta tìm tiếp tuyến song song với trục hoành, tức là tiếp tuyến mà tang của góc tạo với trục hoành bằng 0. Từ hình trước có thể thấy tan(0°) = 0. Trong ngôn ngữ đạo hàm, ta tìm điểm tại đó đạo hàm bằng 0: f′(x) = 0.

Ta tính cực trị của hàm số quen thuộc f(x) = x² + 1 bằng đạo hàm. Đạo hàm của hàm số f là f′(x) = 2x. Tiếp theo ta tìm khi nào đạo hàm cấp một bằng 0, tức là giải phương trình f′(x) = 0; sau khi thay vào: 2x = 0. Hiển nhiên điều này xảy ra khi x = 0. Kết quả khớp với việc hàm số f(x) = x² + 1 đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0.

Những ngoại lệ của “quy tắc”

Ta dễ nghĩ rằng hàm số có cực trị tại x khi và chỉ khi đạo hàm tại điểm đó bằng 0. Đáng tiếc điều đó không đúng, mọi chuyện không đơn giản như vậy. Hãy xem các ví dụ sau:

• Ta thử tìm cực trị của hàm số f(x) = x³. Đạo hàm cấp một của hàm số này là f′(x) = 3x². Giải phương trình f′(x) = 0, tức là 3x² = 0. Rõ ràng nghiệm là x = 0. Nhưng hàm số x³ có cực trị nào tại x = 0 không? Hãy xem đồ thị:

  

  Ta thấy tại x = 0 hàm số không có cực trị nào, cả trên toàn tập xác định lẫn trong lân cận. Vậy vì sao đạo hàm tại điểm này lại bằng 0? Đơn giản vì tại điểm này tiếp tuyến t song song với trục hoành, xem hình sau:

  

• Còn hàm số f(x) = |x|, tức là giá trị tuyệt đối của x, thì sao? Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0:

  

  Nhưng hàm số này không có đạo hàm tại x = 0! Tại x = 0 đồ thị không có tiếp tuyến, vì khó mà nói tiếp tuyến đó trông thế nào.

Vậy ta có:

• Nếu hàm số f đạt cực trị (cực tiểu hoặc cực đại) tại điểm x và tại điểm này tồn tại đạo hàm (!) thì đạo hàm đó bằng 0. Có thể xảy ra trường hợp hàm số đạt cực trị tại điểm x nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

• Nếu hàm số f có đạo hàm bằng 0 tại điểm x thì tại điểm này có thể có cực trị, nhưng cũng có thể không.

Cách tìm cực trị của hàm số

Giả sử ta có hàm số f có đạo hàm trên toàn bộ tập xác định. Bước đầu tiên, ta tính đạo hàm của f và được hàm số f′. Tiếp theo cho đạo hàm cấp một bằng 0, tức là giải phương trình f′(x) = 0. Nghiệm của phương trình này là các điểm “nghi ngờ là cực trị”, gọi là điểm dừng.

Sau đó ta phải xác định điểm dừng nào là điểm cực trị. Có thể làm điều đó, chẳng hạn, nhờ đạo hàm cấp hai của hàm số f. Nếu s là điểm dừng, tức là f′(s) = 0, thì khi f′′(s) > 0 hàm số đạt cực tiểu tại s, còn khi f′′(s) < 0 hàm số đạt cực đại tại s.

Nếu đạo hàm cấp hai tại điểm này cũng bằng 0 thì phải tiếp tục lấy đạo hàm, ta sẽ nói về điều đó sau. Bây giờ là ví dụ. Cho hàm số f(x) = 3x² + 6x. Tìm cực trị của hàm số.

Tính đạo hàm cấp một: f′(x) = 6x + 6. Cho đạo hàm cấp một bằng 0:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

Vậy x = −1 là điểm dừng, điểm nghi ngờ là cực trị. Tính đạo hàm cấp hai: f′′(x) = 0x + 6. Thay x = −1, ta được f′′(−1) = 6. Kết quả dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm này. Đồ thị:

Nếu đạo hàm cấp hai cũng bằng 0 thì sao?

Ta thử tìm cực trị của hàm số f(x) = x⁴, đồ thị:

Đạo hàm cấp một của hàm số này là f′(x) = 4x³. Phương trình f′(x) = 0 dĩ nhiên có duy nhất một nghiệm, điểm dừng s = 0. Tính đạo hàm cấp hai: f′′(x) = 12x². Thay điểm dừng s vào đạo hàm cấp hai, ta được

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Ta được 0, và theo những gì đã nêu đến giờ thì ta không biết tại điểm đó có cực trị hay không. Nhưng nhìn hình ta thấy tại đó có cực trị. Khi gặp trường hợp này, ta tiếp tục lấy đạo hàm. Tìm đạo hàm cấp ba và thay điểm dừng s vào. Nếu được một số khác 0 thì tại s là một điểm uốn (sẽ nói sau). Nếu được 0 thì tiếp tục lấy đạo hàm. Với đạo hàm cấp bốn ta kết luận giống như với đạo hàm cấp hai: thay điểm dừng vào, giá trị dương nghĩa là có cực tiểu, giá trị âm nghĩa là có cực đại.

Đạo hàm cấp ba là f′′′(x) = 24x, thay vào ta có f′′′(0) = 0, nên tiếp tục lấy đạo hàm. Đạo hàm cấp bốn có dạng f′′′′(x) = 24. Ta thấy đạo hàm cấp bốn luôn dương, từ đó, giống như với đạo hàm cấp hai, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm s = 0. Và đúng là như vậy.

Tóm tắt các bước tìm cực trị của hàm số

1. Cho hàm số f có đạo hàm.

2. Tính đạo hàm của f.

3. Giải phương trình f′(x) = 0. Mọi nghiệm s của phương trình gọi là điểm dừng, hay điểm nghi ngờ là cực trị.

4. Tính đạo hàm cấp hai.

5. Tính giá trị của đạo hàm cấp hai tại mọi điểm dừng s. Nếu f′′(s) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại s, nếu f′′(s) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại s. Nếu f′′(s) = 0 thì tiếp tục lấy đạo hàm.

   Mẹo: nếu không muốn nhớ đạo hàm cấp hai phải dương hay âm để có cực đại hay cực tiểu, hãy tự suy ra, chẳng hạn từ hàm số x². Đồ thị hàm số này chắc bạn đã biết, đạo hàm cấp một và cấp hai đều đơn giản: f′(x) = 2x và f′′(x) = 2. Vậy đạo hàm cấp hai luôn dương và hàm số x² đạt cực tiểu tại x = 0.

6. Tính đạo hàm cấp ba. Nếu f′′′(s) ≠ 0 thì tại s là điểm uốn, ngược lại thì tiếp tục lấy đạo hàm.

7. Tính đạo hàm cấp bốn. Nếu f′′′′(s) ≠ 0 thì tại điểm đó có cực trị. Nếu không thì tiếp tục lấy đạo hàm.

8. Và cứ thế tiếp tục. Nếu đạo hàm khác 0 đầu tiên là đạo hàm cấp lẻ thì đó là điểm uốn. Nếu đạo hàm khác 0 đầu tiên là đạo hàm cấp chẵn thì đó là điểm cực trị.