Đường tròn lượng giác

Đường tròn lượng giác là một đường tròn bình thường, không có đơn vị đo; nói chính xác hơn, bán kính của nó bằng 1. Đường tròn lượng giác giúp minh hoạ trực quan định nghĩa của các hàm số lượng giác.

Đường tròn lượng giác là gì

Đường tròn lượng giác là đường tròn có bán kính bằng 1 và tâm nằm ở gốc toạ độ, tức điểm (0; 0). Hãy xem hình sau:

Đường tròn được chia thành bốn phần, gọi là các góc phần tư. Phía trên bên phải là góc phần tư thứ I, phía trên bên trái là góc phần tư thứ II, phía dưới bên trái là góc phần tư thứ III và phía dưới bên phải là góc phần tư thứ IV. Vì ta sẽ dùng đường tròn này để biểu diễn các góc, nên trên đường tròn có ghi số đo độ. Tia đầu của góc thường bắt đầu ở chỗ 0 độ và quay ngược chiều kim đồng hồ. Vì vậy điểm (0; 1) được đánh dấu bằng góc vuông.

Định nghĩa sin và côsin trên đường tròn

Trên đường tròn lượng giác có thể biểu diễn rất trực quan từng hàm số lượng giác. Trước hết, ta đặt một góc lên đường tròn lượng giác, rồi xem có thể đọc giá trị của từng hàm số ở đâu trên đường tròn.

Ta đã đặt lên đường tròn góc AOB (màu đỏ). Đặt tên góc này là alpha. Hai cạnh của góc cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm: A và B. Điểm quan trọng với ta là điểm B. Nếu từ điểm B kẻ đường thẳng song song với trục hoành (trên hình là đường nằm ngang nét đứt), đường thẳng này cắt trục tung tại đúng một điểm. Kí hiệu điểm này là P_s. Khi đó độ dài đoạn thẳng OP_s (đoạn màu xanh lá) bằng sin của góc alpha.

Vì ta đang ở trên đường tròn lượng giác có tâm ở gốc toạ độ, nên độ dài đoạn thẳng OP_s (đoạn màu xanh lá) bằng tung độ của điểm P_s, cũng chính là tung độ của điểm B.

Trên cùng đường tròn đó cũng có thể đọc côsin. Kẻ đường thẳng song song với trục tung đi qua điểm B. Đường thẳng này cắt trục hoành tại một điểm, kí hiệu là P_c. Khi đó độ dài đoạn thẳng OP_c bằng côsin của góc alpha. Một lần nữa, có thể nói giá trị này bằng hoành độ của điểm B và của điểm P_c.

Định nghĩa tang và côtang

Tương tự như đã định nghĩa sin và côsin trên đường tròn lượng giác, ta có thể định nghĩa tang và côtang. Để dễ theo dõi, trước hết ta xem tang xuất hiện ở đâu trên đường tròn lượng giác. Muốn vậy, cần thêm một đường thẳng nữa. Đó là đường thẳng song song với trục tung và đi qua điểm A, tức điểm (1; 0). Trên hình sau, đó là đường thẳng màu xanh dương:

Đường thẳng này cắt tia (cạnh của góc) OB tại một điểm, kí hiệu là P_t. Khi đó độ dài đoạn thẳng AP_t bằng tang của góc alpha. Cũng vậy, chỉ cần lấy tung độ của điểm P_t là được tang của góc alpha.

Để biểu diễn côtang trên đường tròn lượng giác, ta cần thêm một đường thẳng nữa. Lần này là đường thẳng đi qua điểm (0; 1) và song song với trục hoành. Nó cũng được tô màu xanh dương:

Đường thẳng này cắt tia (cạnh của góc) OB tại một điểm, kí hiệu là P_k. Khi đó độ dài đoạn thẳng CP_k bằng côtang của góc alpha. Như mọi khi, chỉ cần lấy hoành độ của điểm P_k là được côtang của góc.

Câu hỏi đặt ra là điều gì xảy ra nếu góc alpha lớn hơn 90 độ (với tang) hoặc lớn hơn 180 độ (với côtang), vì trong những trường hợp đó đường thẳng không cắt cạnh của góc, xem hình sau:

Khi đó ta kéo dài tia OB thành đường thẳng, và đường thẳng này sẽ cắt đường thẳng p.

Với tang cũng làm tương tự.

Khi nào tang và côtang không xác định

Trên đường tròn lượng giác có thể nhận thấy một điều thú vị. Nếu góc alpha bằng 180 độ thì đường thẳng p và cạnh của góc không bao giờ cắt nhau, vì chúng song song. Khắc phục vấn đề này thế nào? Không thể: côtang của 180 độ không xác định. Tương tự, tang của 90 độ không xác định, vì khi đó cạnh của góc song song với trục tung, nên cũng song song với đường thẳng mà nó phải cắt. Hình sau minh hoạ điều này cho trường hợp côtang.