Tính chất của sin, côsin, tang và côtang

Sin và côsin là các hàm số lượng giác cơ bản.

Sin

Sin của góc alpha bằng tỉ số giữa độ dài cạnh đối và độ dài cạnh huyền trong tam giác vuông.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Độ dài cạnh đối}}{\text{Độ dài cạnh huyền}}$$

Đồ thị hàm số sin là một đường cong gọi là đường hình sin. Đồ thị được vẽ ở hình sau:

Sin là hàm số tuần hoàn với chu kì nhỏ nhất là 2π. Các tính chất khác:

• Tập xác định là tập hợp tất cả các số thực.
• Tập giá trị là đoạn [−1; 1].
• Hàm số sin đạt giá trị lớn nhất tại vô số điểm. Nói chính xác, giá trị lớn nhất “đầu tiên” đạt tại điểm $x=\frac{\pi }{2}$, và vì đây là hàm số tuần hoàn nên giá trị lớn nhất còn đạt tại mọi điểm $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, trong đó k là số nguyên. Giá trị lớn nhất bằng 1.
• Tương tự với giá trị nhỏ nhất: hàm số sin đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, trong đó k là số nguyên, và giá trị nhỏ nhất bằng −1.
• Sin là hàm số lẻ và bị chặn.

Côsin

Côsin của góc alpha bằng tỉ số giữa độ dài cạnh kề và độ dài cạnh huyền trong tam giác vuông. Vậy nếu tính côsin của góc alpha bằng máy tính cầm tay, ta được giá trị của thương

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{độ dài cạnh kề}}{\text{độ dài cạnh huyền}}.$$

Đồ thị hàm số côsin là một đường cong, cũng có dạng hình sin. Đồ thị được vẽ ở hình sau:

Côsin là hàm số tuần hoàn với chu kì nhỏ nhất là 2π. Các tính chất khác:

• Tập xác định là tập hợp tất cả các số thực.
• Tập giá trị là đoạn [−1; 1].
• Hàm số côsin đạt giá trị lớn nhất tại vô số điểm. Nói chính xác, giá trị lớn nhất “đầu tiên” đạt tại điểm x = 0, và vì đây là hàm số tuần hoàn nên giá trị lớn nhất còn đạt tại mọi điểm 2kπ, trong đó k là số nguyên. Giá trị lớn nhất bằng 1.
• Tương tự với giá trị nhỏ nhất: hàm số côsin đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm π + 2kπ, trong đó k là số nguyên, và giá trị nhỏ nhất bằng −1.
• Côsin là hàm số chẵn và bị chặn.

Tang

Tang của góc alpha bằng tỉ số giữa độ dài cạnh đối và độ dài cạnh kề trong tam giác vuông. Tang thường kí hiệu là tan (ở một số nước là tg).

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Độ dài cạnh đối}}{\text{Độ dài cạnh kề}}$$

Đồ thị của hàm số này là đường cong sau:

Hàm số tang khác các hàm số trước chủ yếu ở chu kì: chu kì không còn là 2π mà chỉ là π. Các tính chất khác:

• Tập xác định là tập hợp

$$D=\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• Tập giá trị là tập hợp tất cả các số thực.
• Hàm số tang không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và không bị chặn.
• Tang là hàm số lẻ.

Côtang

Côtang của góc alpha bằng tỉ số giữa độ dài cạnh kề và độ dài cạnh đối. Côtang thường kí hiệu là cot hoặc cotan.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Độ dài cạnh kề}}{\text{Độ dài cạnh đối}}$$

Đồ thị của hàm số này là đường cong sau:

Các tính chất khác:

• Chu kì cũng là π, giống như hàm số tang.
• Tập xác định là tập hợp

$$D=\mathbb{R}-\left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• Tập giá trị là tập hợp tất cả các số thực.
• Hàm số côtang không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và không bị chặn.
• Côtang là hàm số lẻ.

Mối liên hệ giữa sin và côsin

Các hàm số lượng giác có quan hệ gần gũi với nhau. Nếu nhìn đồng thời đồ thị hàm số sin và côsin, ta sẽ thấy chúng không khác nhau mấy: đồ thị này chỉ là đồ thị kia tịnh tiến đi một chút.

Vậy nếu luôn cộng thêm π/2 vào đối số của hàm số sin, ta được hàm số côsin:

Ngược lại, nếu trừ π/2 ở hàm số côsin, ta được hàm số sin.

Như vậy có thể viết các công thức sau:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Biểu diễn tang và côtang

Hàm số tang dễ dàng biểu diễn được qua sin và côsin. Chỉ cần nhớ tang là gì: tỉ số giữa độ dài cạnh đối và độ dài cạnh kề. Ta dùng tam giác sau:

Tang của góc beta bằng bao nhiêu?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Có thể biểu diễn tử và mẫu như thế nào? Độ dài cạnh b và độ dài cạnh c bằng bao nhiêu? Ta biết sin của góc beta bằng:

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

Từ công thức này, ta rút |b|:

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Côsin của góc beta bằng:

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Rút |c|:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

Đến đây, độ dài các cạnh b và c đã được biểu diễn qua các hàm số sin và côsin. Thay các kết quả trung gian này vào đẳng thức ban đầu với tang:

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

Rút gọn |a| ở tử và mẫu, ta được công thức cuối cùng:

$$\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

Như vậy tang có thể viết thành thương của sin và côsin. Không cần chứng minh, ta nêu luôn rằng côtang có thể viết thành phân số đảo ngược, tức thương của côsin và sin.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Mối liên hệ giữa tang và côtang

Tương tự hai hàm số sin và côsin, hai hàm số tang và côtang cũng giống nhau. Hãy quan sát cả hai đồ thị trên cùng một hình:

Làm thế nào để biến đường cong của hàm số tang thành đường cong của hàm số côtang? Côtang lệch đi π/2, ta bắt đầu từ đó:

Ta đã tiến gần hơn tới côtang, nhưng các đường cong vẫn có hướng sai: côtang nghịch biến trên các khoảng đã chọn, trong khi đường cong đã tịnh tiến này lại đồng biến. Khắc phục bằng cách đổi dấu biến x:

Vậy có thể viết:

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Với một số góc đẹp, sin, côsin, tang và côtang có giá trị đẹp. Sau đây là bảng tổng quan:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$