Phép biến đổi tương đương phương trình

Khi biến đổi phương trình, ta dùng các phép biến đổi tương đương, tức là các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình. Mục đích của chúng là đưa phương trình về một dạng đơn giản hơn, từ đó có thể tính ra nghiệm.

Phương trình là gì

Trước hết, nói ngắn gọn phương trình là gì và cách viết phương trình. Cho hai hàm số f(x) và g(x), khi cho chúng bằng nhau ta được phương trình:

$$f(x)=g(x)$$

Khi đó f(x) gọi là vế trái, còn g(x) gọi là vế phải của phương trình. Thay cho các hàm số trừu tượng f(x) và g(x), có thể hình dung các hàm số cụ thể, chẳng hạn f(x) = 3x và g(x) = x + 2. Khi đó phương trình có dạng:

$$3x=x+2$$

Tập nghiệm của phương trình là một tập hợp, kí hiệu chẳng hạn là S, sao cho mọi x thuộc S khi thay vào đều làm phương trình đúng. Vậy tập nghiệm của phương trình ví dụ là

$$S=\left\{1\right\}.$$

Thay vào phương trình, ta được

$$3\cdot 1=1+2$$

Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình. Nói cách khác, từ hàm số f(x) ta được hàm số f₁(x), cũng phép biến đổi đó biến g(x) thành g₁(x), và đẳng thức sau vẫn đúng

$$f_1(x)=g_1(x).$$

Phép biến đổi tương đương đầu tiên và đơn giản nhất đối với phương trình (không phải bất phương trình!) là đổi vế trái và vế phải cho nhau. Hiển nhiên, nếu

$$f(x)=g(x),$$

thì sau khi đổi vế cũng có

$$g(x)=f(x).$$

Phương trình được trình bày kĩ hơn trong bài Phương trình là gì.

Cộng hai vế với cùng một biểu thức

Ví dụ đơn giản nhất là cộng cùng một biểu thức vào hai vế của phương trình. Phép biến đổi tương đương luôn được thực hiện trên cả hai vế. Xét phương trình:

$$x-3=1.$$

Có thể giải phương trình này bằng cách cộng 3 vào hai vế. Để dễ theo dõi, ta ghi phép biến đổi định thực hiện ở cuối dòng, sau dấu gạch chéo: “/+3” nghĩa là cộng 3 vào hai vế, “/·2” là nhân hai vế với 2, “/:12” là chia hai vế cho 12, “/^2” là bình phương hai vế. Ví dụ

$$\begin{array}{rcl}x-3& =& 1/+3\\ 3+x-3& =& 1+3\\ x& =& 4\end{array}$$

Tổng quát, với hai hàm số f(x) và g(x), có thể cộng vào hai vế một hàm số thứ ba h(x) mà không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình.

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& g(x)/+h(x)\\ f(x)+h(x)& =& g(x)+h(x)\end{array}$$

Như vậy, không chỉ có thể cộng một số mà còn có thể cộng một hàm số:

$$x=2x+6$$

Theo thói quen, ta muốn để các hạng tử chứa biến ở vế trái. Muốn vậy, ta cộng −2x vào hai vế, tức là trừ hai vế cho 2x.

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2x+6/-2x\\ x-2x& =& 2x-2x+6\\ -x& =& 6\\ x& =& -6\end{array}$$

Tất nhiên cũng có thể cộng phân số, nếu điều đó có ích.

$$x-\frac{1}{2}=471$$

Cộng một phần hai vào hai vế, ta được kết quả:

$$\begin{array}{rcl}x-\frac{1}{2}& =& 471/+\frac{1}{2}\\ x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}& =& 471+\frac{1}{2}\\ x& =& 471,5\end{array}$$

Phép cộng thường dùng khi muốn “chuyển” một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình. Với phương trình

$$3=2x+17,$$

làm thế nào để đưa biểu thức chứa biến, tức 2x, sang vế trái? Chỉ cần cộng −2x vào hai vế. Khi đó ở vế phải, thay cho 2x ta được 0, vì 2x − 2x = 0. Còn ở vế kia xuất hiện −2x:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 2x+17/-2x\\ 3-2x& =& 2x-2x+17\\ 3-2x& =& 17\end{array}$$

Nhân hai vế với cùng một biểu thức

Cũng có thể nhân hai vế của phương trình với một hàm số. Điều kiện duy nhất là hàm số đó phải khác 0. Không được nhân phương trình với 0, cũng không được nhân với một hàm số có thể rút gọn thành 0, chẳng hạn f(x) = x − x. Như vậy, với phương trình

$$3x=7,$$

ta có thể nhân hai vế với 2:

$$\begin{array}{rcl}3x& =& 7/\cdot 2\\ 2\cdot 3x& =& 2\cdot 7\\ 6x& =& 14\end{array}$$

Phép biến đổi này không có ích lắm. Phép nhân thường dùng chẳng hạn khi cần khử mẫu:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Nếu nhân hai vế của phương trình với mẫu của phân thức ở vế phải thì nhờ tính chất của phân thức, biểu thức 5x được rút gọn.

$$\begin{array}{rcl}3& =& \frac{2}{5x}/\cdot 5x\\ 5x\cdot 3& =& 5x\cdot \frac{2}{5x}\end{array}$$

Bây giờ nhân phân thức với 5x: 5x đi lên tử, và vì 5x có mặt cả ở tử lẫn ở mẫu nên có thể rút gọn.

$$\begin{array}{rcl}15x& =& \frac{5x\cdot 2}{5x}\\ 15x& =& 2\end{array}$$

Ở đầu mục này đã nói rằng không được nhân với 0. Nhưng vừa rồi ta nhân với biểu thức 5x. Biểu thức này chứa biến, và nếu thay biến bằng 0 thì cả biểu thức bằng 0, tức là ta đã nhân với 0. Phải xử lí thế nào?

Ta xác định điều kiện để được phép thực hiện phép biến đổi này. Cụ thể, phải ghi rằng chỉ được nhân với 5x khi x khác 0. Nhưng hãy nhìn lại phương trình đã nhân. Biểu thức 5x đã có sẵn trong đó, ở mẫu của phân thức. Điều đó có nghĩa gì? Không thể chia cho 0, nên chính tập xác định của hàm số $\frac{2}{5x}$ đã loại trừ trường hợp x bằng 0.

Nhắc lại một lần nữa: phương trình chứa phân thức có mẫu là 5x. Vì không thể chia cho 0 nên phương trình chỉ có nghĩa khi x khác 0. Do đó có thể yên tâm nhân hai vế với 5x, vì tập xác định của hàm số ở mẫu đã bảo đảm điều kiện cần thiết.

Nhân với biểu thức phức tạp hơn

Một lưu ý quan trọng: khi nhân phương trình với một biểu thức, luôn phải nhân toàn bộ vế phải và toàn bộ vế trái. Ví dụ, xét phương trình:

$$x+2=x-4$$

Nếu muốn nhân hai vế với 2, ta phải nhân cả vế, như sau:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot (x+2)& =& 2\cdot (x-4)\\ 2x+4& =& 2x-8\end{array}$$

Nếu quên dấu ngoặc thì sẽ sai, vì ta được kết quả khác:

$$\begin{array}{rcl}2\cdot x+2& =& 2\cdot x-4\\ 2x+2& =& 2x-4\end{array}$$

Kết quả khác với trường hợp trước. Tương tự, khi nhân với biểu thức phức tạp hơn, phải nhân toàn bộ phương trình. Ví dụ, xét phương trình

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Nhân hai vế với x + 3 để khử ẩn ở mẫu của vế phải.

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& \frac{2}{x+3}/\cdot (x+3)\\ (x+3)(2x+1)& =& (x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\end{array}$$

Bây giờ có thể rút gọn phân thức cho x + 3:

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& \frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)& =& 2\end{array}$$

Tiếp theo, nhân phá ngoặc ở vế trái rồi trừ hai vế cho 2 để “chuyển” số 2 sang vế trái; khi đó vế phải bằng 0.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)(2x+1)& =& 2\\ 2x^2+x+6x+3& =& 2\\ 2x^2+7x+3& =& 2/-2\\ 2x^2+7x+1& =& 0\end{array}$$

Chia hai vế cho cùng một biểu thức

Giống như phép nhân, cũng có thể chia hai vế của phương trình, với cùng một hạn chế: không được chia cho 0. Thật vậy, phép chia dễ dàng chuyển thành phép nhân. Chia phương trình cho biểu thức w cũng giống như nhân phương trình với phân thức 1/w. Phép chia thường dùng trong những ví dụ như sau:

$$12x=7$$

Với phương trình dạng này, chỉ còn cách chia hai vế cho 12 để được giá trị của x.

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/:12\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Nếu nhân phương trình với 1/12, ta cũng được kết quả đó:

$$\begin{array}{rcl}12x& =& 7/\cdot \frac{1}{12}\\ 12x\cdot \frac{1}{12}& =& 7\cdot \frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}& =& \frac{7}{12}\\ x& =& \frac{7}{12}\end{array}$$

Nâng hai vế lên luỹ thừa

Khi biến đổi phương trình, cũng có thể dùng luỹ thừa, nhưng có những hạn chế nhất định. Trước hết, ôn lại kiến thức về luỹ thừa. Đẳng thức sau có đúng không?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Nếu bình phương một số rồi lấy căn bậc hai, ta có được số ban đầu không? Đây là một câu hỏi có bẫy, và câu trả lời là: không phải lúc nào cũng vậy. Hãy thay x bằng một số âm, chẳng hạn −3:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{(-3{)}^2}& =& -3\\ \sqrt{9}& =& -3\\ 3& \ne & -3\end{array}$$

Đẳng thức bỗng nhiên sai, vì bình phương một số âm thì được số dương, nhưng lấy căn của số dương thì lại được số dương. Khi nào đẳng thức này đúng? Khi biết rằng ta chỉ làm việc với các số dương, hay chính xác hơn là các số không âm. Vì vậy, chỉ được bình phương hai vế của phương trình khi biết chắc rằng ta làm việc với các số dương.

Chẳng hạn, trong hình học ta thường giải các phương trình chứa độ dài đoạn thẳng, và khi đó có thể yên tâm bình phương, vì độ dài không thể âm. Khi nâng lên luỹ thừa hay khai căn cũng phải áp dụng cho toàn bộ hai vế. Ví dụ:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Giả sử ta chỉ làm việc với các số dương, khi đó có thể bình phương hai vế của phương trình:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x+4{/}^2\\ {\left(\sqrt{x+2}\right)}^2& =& (x+4{)}^2\\ x+2& =& x^2+8x+16\\ x^2+7x+14& =& 0\end{array}$$

Ta được một phương trình bậc hai, có thể giải bằng các cách trình bày trong bài đó.

Giải thế nào khi cần bình phương hai vế của phương trình nhưng không chắc rằng ta chỉ làm việc với các số dương? Cứ bình phương, sau đó thử lại, vì phép bình phương có thể sinh ra những giá trị không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ví dụ:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Bình phương hai vế của phương trình:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2{/}^2\\ {\left(\sqrt{x}\right)}^2& =& (x-2{)}^2\\ x& =& x^2-4x+4\\ x^2-5x+4& =& 0\end{array}$$

Lại được một phương trình bậc hai, ta giải nó bằng một cách thích hợp, chẳng hạn phân tích thành nhân tử (cách làm chi tiết có trong bài được dẫn):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Ta được hai giá trị 1 và 4. Tuy nhiên, ta đã thực hiện một phép biến đổi không tương đương nên phải thử lại. Thay các giá trị này vào phương trình ban đầu để xem giá trị nào là nghiệm của phương trình ban đầu. Trước hết thay số 1:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{1}& =& 1-2\\ 1& \ne & -1\end{array}$$

Thử lại cho thấy số 1 không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Còn số 4 thì sao?

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x}& =& x-2\\ \sqrt{4}& =& 4-2\\ 2& =& 2\end{array}$$

Số 4 là nghiệm của phương trình ban đầu, vậy ta đã tìm được nghiệm.