Diện tích tam giác

Có hai cách chính để tính diện tích tam giác: bổ sung tam giác thành hình bình hành rồi tính diện tích hình bình hành đó, hoặc dùng công thức Heron.

Bổ sung thành hình bình hành

Trước hết, xem lại cách tính diện tích của tam giác vuông. Ta đã bổ sung tam giác thành một hình chữ nhật, tính diện tích hình chữ nhật đó rồi chia kết quả cho 2. Hình sau minh hoạ điều này:

Nhưng tam giác không vuông thì không dễ bổ sung thành hình chữ nhật như vậy. Tuy nhiên có thể bổ sung nó thành hình bình hành. Xét tam giác ABC sau:

Để bổ sung tam giác này thành hình bình hành, từ điểm C kẻ một đoạn thẳng song song và bằng đoạn thẳng AB. Sau đó từ điểm A kẻ một đoạn thẳng song song và bằng đoạn thẳng BC. Ta được hình bình hành sau:

Câu hỏi là tính diện tích hình bình hành này thế nào. Không thể nhân hai cạnh kề nhau như với hình chữ nhật. Tuy nhiên, từ hình bình hành này dễ dàng tạo ra một hình chữ nhật có cùng diện tích. Hai tam giác tô màu đỏ sau đây có diện tích bằng nhau:

Nếu chuyển tam giác AED sang vị trí của tam giác BFC, ta được một hình chữ nhật có cùng diện tích:

Đây là hình chữ nhật, nên diện tích của nó bằng tích độ dài hai cạnh kề nhau. Nhưng cạnh AE hay BF dài bao nhiêu? Nhìn kĩ tam giác ban đầu ABC vẽ bằng nét đậm, ta thấy độ dài cạnh AE đúng bằng độ dài đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh C. Vậy diện tích hình chữ nhật này bằng:

$$S_{◻}=h_c\cdot AB,$$

trong đó h_c là đường cao kẻ từ đỉnh C. Diện tích tam giác bằng một nửa diện tích này:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{h_c\cdot AB}{2}.$$

Công thức tổng quát

Tất nhiên công thức ở phần trên áp dụng được cho cả ba cạnh:

$$\begin{array}{rcl}{S}_{\mathrm{△}}& =& \frac{h_a\cdot a}{2},\\ S_{\mathrm{△}}& =& \frac{h_b\cdot b}{2},\\ S_{\mathrm{△}}& =& \frac{h_c\cdot c}{2}.\end{array}$$

Trong đó h_a, h_b và h_c là các đường cao ứng với các cạnh a, b và c.

Công thức Heron

Nếu không biết độ dài đường cao nào của tam giác nhưng biết độ dài cả ba cạnh, có thể tính diện tích bằng công thức Heron:

$$S_{\mathrm{△}}=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)},$$

trong đó

$$p=\frac{a+b+c}{2}.$$

Máy tính: tính diện tích tam giác