Diện tích toàn phần của hình chóp

Hình chóp là hình không gian trông giống một kim tự tháp. Hình chóp đứng trên một mặt đáy và có một số mặt bên hình tam giác. Đáy là một đa giác. Một hình chóp có thể trông như sau:

Hình chóp tứ giác đều

Đây là hình chóp tứ giác đều. Gọi là “đều” vì đáy của nó là một đa giác đều, còn gọi là “tứ giác” vì đáy là một tứ giác, ở đây là hình vuông (hơi nheo mắt một chút sẽ thấy hình vuông 😆). Do đó hình chóp có bốn mặt bên hình tam giác. Muốn tính diện tích toàn phần của hình chóp, ta tính diện tích đáy và diện tích các mặt bên. Bắt đầu với diện tích đáy:

Như đã nói, đáy là một tứ giác đều, tức là hình vuông, nên ta dùng công thức tính diện tích hình vuông:

$$S_{◻}=a^2$$

Phần này dễ. Giờ đến phần khó hơn: diện tích một mặt bên hình tam giác. Ta tính diện tích mặt bên ABF:

Mặt bên ABF là một tam giác, và không phải tam giác bất kì mà là tam giác cân:

Muốn tính diện tích tam giác cân, ta cần biết đường cao của tam giác. Khi đã biết đường cao h của tam giác cân này, tức là đường cao của mặt bên (ở hình chóp đều còn gọi là trung đoạn; đừng nhầm với chiều cao của cả hình chóp), diện tích mặt bên bằng

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Đây là diện tích một mặt bên của hình chóp tứ giác đều. Diện tích cả bốn mặt bên bằng

$$S_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

Bây giờ có thể tính diện tích toàn phần của cả hình chóp bằng cách cộng diện tích đáy với diện tích các mặt bên:

$$S_{\text{tp}}=S_{◻}+S_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Diện tích toàn phần của hình chóp n-giác đều

Tất nhiên hình chóp không nhất thiết là hình chóp tứ giác, mà có thể là hình chóp lục giác chẳng hạn:

Tính diện tích toàn phần của hình chóp như vậy thế nào? Diện tích một mặt bên vẫn tính như cũ:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Nhưng vì hình chóp có sáu mặt bên chứ không phải bốn, ta nhân diện tích này với 6. Với hình chóp n-giác, ta nhân với n:

$$S_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

Diện tích đáy tính theo công thức diện tích n-giác đều:

$$S_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

trong đó a là độ dài cạnh đáy và r là khoảng cách từ tâm đa giác đều đến một cạnh. Công thức đầy đủ là:

$$S_{\text{tp}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Có thể rút gọn thành

$$S_{\text{tp}}=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

và tiếp tục thành

$$S_{\text{tp}}=n\cdot a\cdot \frac{h+r}{2}$$