Diện tích toàn phần của hình nón

Nói đơn giản, diện tích toàn phần của hình nón cho biết cần bao nhiêu giấy hay tôn để làm ra cả hình nón hoặc dán kín toàn bộ bề mặt của nó. Đừng nhầm với thể tích hình nón, đại lượng cho biết hình nón chứa được bao nhiêu nước. Hình nón có hai phần: mặt đáy hình tròn ở dưới và mặt xung quanh ở trên, thu dần về đỉnh.

Trên hình, bán kính đáy r màu đỏ, chiều cao h màu xanh dương và đường sinh l màu xanh lá; đường sinh là đoạn nối đỉnh với một điểm trên mép đáy.

Công thức tính diện tích toàn phần của hình nón

Nếu chỉ cần công thức: hình nón có bán kính đáy r và đường sinh l có diện tích toàn phần S_tp bằng

$$S_{\text{tp}}=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot l$$

Số hạng thứ nhất là diện tích đáy, số hạng thứ hai là diện tích xung quanh. Đôi khi người ta viết công thức với π · r đặt ra ngoài làm nhân tử chung:

$$S_{\text{tp}}=\pi \cdot r\cdot (r+l)$$

Xét hình nón có bán kính đáy r = 3 và đường sinh l = 5. Diện tích toàn phần của nó là

$$S_{\text{tp}}=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Nếu muốn viết kết quả thành một số thông thường, không có pi, hãy thay giá trị gần đúng 3,14:

$$S_{\text{tp}}\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Cách suy ra công thức

Đáy là một hình tròn bình thường, nên diện tích đáy tính theo công thức diện tích hình tròn: π · r².

Mặt xung quanh thì thú vị hơn. Nếu cắt nó dọc theo một đường sinh rồi trải phẳng lên bàn, ta được một hình quạt tròn bán kính l. Hình vẽ cho thấy toàn bộ hình khai triển của hình nón: hình quạt màu đỏ là mặt xung quanh, hình tròn màu xanh dương là mặt đáy. Trên hình, hình khai triển gấp lại thành hình nón rồi lại trải ra.

Cung màu cam của hình quạt, trước khi cắt, chính là mép đáy, nên nó dài bằng đường tròn màu cam phía dưới, tức là bằng độ dài đường tròn 2π r. Cả đường tròn bán kính l sẽ dài 2π l. Hình quạt chiếm một phần của cả hình tròn bán kính l đúng bằng phần mà cung chiếm trong cả đường tròn:

$$\frac{2\pi r}{2\pi l}=\frac{r}{l}$$

Với hình nón ở ví dụ trên, đó là ba phần năm hình tròn, đúng như trên hình. Cả hình tròn có diện tích π · l², mặt xung quanh chiếm phần $\frac{r}{l}$ của nó:

$$S_{\text{xq}}=\frac{r}{l}\cdot \pi \cdot l^2=\pi \cdot r\cdot l$$

Cộng thêm diện tích đáy vào diện tích xung quanh, ta được công thức đầy đủ S_tp = π · r² + π · r · l.

Ví dụ: chiếc mũ giấy

Sắp có một bữa tiệc và ta muốn làm một chiếc mũ giấy hình nón. Mũ có bán kính đáy 8 cm và cao 15 cm. Hỏi cần bao nhiêu giấy?

Nhưng công thức cần đường sinh l chứ không phải chiều cao. Chiều cao, bán kính và đường sinh tạo thành một tam giác vuông, nên đường sinh tính được theo định lí Pythagore. Thay r = 8 và h = 15:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Bình phương:

$$l=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Còn lại khai căn:

$$l=17$$

Ở đây có một chỗ dễ nhầm: mũ không có đáy. Ai dùng cả công thức đầy đủ sẽ làm ra chiếc mũ có đáy, mà đội như vậy thì khá khó. Vì vậy ta chỉ tính diện tích xung quanh:

$$S_{\text{xq}}=\pi \cdot r\cdot l=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Thay giá trị gần đúng của pi:

$$S_{\text{xq}}\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Để làm chiếc mũ cần khoảng 427 cm² giấy, cộng thêm một chút để dán mép.

Máy tính

Nhập bán kính đáy và đường sinh; đơn vị của từng ô có thể đổi được. Máy tính dùng giá trị chính xác của pi, nên kết quả lớn hơn 75,36 một chút.

Xem thêm

• Thể tích hình nón
• Hình quạt tròn
• Diện tích toàn phần của hình trụ
• Diện tích toàn phần của hình chóp