Изследване на функция: екстремуми

Екстремумите на функция са точките, в които функцията приема най-големите или най-малките си стойности.

Екстремуми на функция

Различаваме два основни вида екстремуми – минимум и максимум. Освен това различаваме глобален максимум/минимум и локален максимум/минимум. Глобален максимум е точка, в която функцията има най-голяма стойност измежду всички точки от дефиниционното множество. Ако тази стойност е единствена, казваме, че това е строг максимум. Функцията може да има най-голяма стойност в повече точки, подобно на това как например двама различни служители могат да получават най-високата заплата от 20 000 евро на месец. Определенията за минимум и максимум са дадени в статията за функциите.

Локален минимум определяме само върху част от дефиниционното множество на функцията, обикновено в някакъв интервал. Определение на локален максимум и минимум:

• Функцията f има в точката M ∈ D(f) локален максимум, ако съществува някоя околност U = (M − ϵ; M + ϵ), където ϵ > 0, такава че за всяко x ∈ U ∩ D(f) е изпълнено f(x) ≤ f(M).
• Функцията f има в точката m ∈ D(f) локален минимум, ако съществува някоя околност U = (m − ϵ; m + ϵ), където ϵ > 0, такава че за всяко x ∈ U ∩ D(f) е изпълнено f(x) ≥ f(m).

Пример за функция, която има безкрайно много екстремуми, е функцията f(x) = x · sin x:

И защо в определението пише „за всяко x ∈ U ∩ D(f)“, т.е. защо там има сечение с дефиниционното множество? Например защото функцията, зададена с тази графика…

…има в точката m = 1 минимум, но във всяка лява околност на точката m = 1 функцията не е определена, така че в тази лява околност не би било изпълнено f(x) ≥ f(m). Ако вземем сечението с дефиниционното множество, остава само дясната околност.

Основен принцип при търсенето на екстремуми

Сега да се върнем към графиката на функцията f(x) = x² + 1 заедно с три допирателни:

Ще се съсредоточим преди всичко върху допирателната c. Виждаме, че допирателната се допира до графиката в минимума на функцията x² + 1 и е хоризонтална, т.е. успоредна на оста x. Тя „сключва“ с положителната полуос x ъгъл 0 градуса. Какво би станало, ако обърнем функцията и вместо минимум функцията има максимум? Графика на функцията −x² + 1:

Забелязваме, че допирателната c, която минава през максимума на функцията −x² + 1, е отново успоредна на оста x. От това следва закономерност: когато търсим минимум или максимум на функция, търсим допирателна, която е успоредна на оста x, т.е. тангенсът на ъгъла, който сключва с оста x, е равен на нула. От предишния чертеж се вижда, че tg(0°) = 0. В контекста на производните търсим точка, за която е изпълнено, че производната ѝ е равна на нула: f′(x) = 0.

Нека пресметнем екстремума на нашата любима функция f(x) = x² + 1 с помощта на производни. Производната на функцията f е f′(x) = 2x. След това търсим кога първата производна е равна на нула, т.е. решаваме уравнението f′(x) = 0; след заместване 2x = 0. Това тривиално е изпълнено за x = 0. Виждаме, че това съвпада с факта, че функцията f(x) = x² + 1 има в точката x = 0 глобален минимум.

Изключения от „правилото“

Примамливо е да кажем, че функцията има в точка x екстремум тогава и само тогава, когато производната в тази точка е равна на нула. За съжаление това не е вярно, не е толкова просто. Нека разгледаме следните примери:

• Нека опитаме да намерим екстремумите на функцията f(x) = x³. Първата производна на тази функция е f′(x) = 3x². Решаваме уравнението f′(x) = 0, т.е. 3x² = 0. Това очевидно е изпълнено за x = 0. Но има ли функцията x³ в точката x = 0 някакъв екстремум? Нека погледнем графиката:

  

  Виждаме, че в точката x = 0 функцията няма екстремум. Нито глобален, нито локален. Защо тогава в тази точка производната се получава нула? Защото в тази точка допирателната t е просто успоредна на оста x, виж следния чертеж:

  

• А какво да кажем за функцията f(x) = |x|, т.е. абсолютната стойност на x? От графиката можем да видим, че има в точката x = 0 глобален минимум:

  

  Но тази функция няма в точката x = 0 производна! В точката x = 0 функцията няма допирателна, защото трудно може да се каже как би изглеждала тази допирателна.

Следователно:

• Ако функцията f има в точка x екстремум, т.е. минимум или максимум, и ако в тази точка съществува производна (!), то тази производна е нула. Може да се случи функцията да има в точка x екстремум и същевременно в дадената точка да няма никаква производна.

• Ако функцията f има в точка x нулева производна, то в тази точка може да има екстремум, но може и да няма.

Как да намерим екстремумите на функция

Ще предполагаме, че на входа имаме функция f, която е диференцируема в цялото си дефиниционно множество. В първата стъпка диференцираме функцията f и така получаваме функцията f′. След това приравняваме първата производна на нула, т.е. решаваме уравнението f′(x) = 0. Решенията на това уравнение са точките, в които е възможен екстремум, т.е. стационарните точки.

След това трябва да определим кои от тези стационарни точки са екстремуми. Това установяваме например с втората производна на функцията f. Ако s е стационарна точка, т.е. ако е изпълнено f′(s) = 0, то при f′′(s) > 0 в точката s има минимум, докато при f′′(s) < 0 в точката s има максимум.

Ако и втората производна в тази точка е нула, трябва да продължим с диференцирането нататък, за това по-късно. Сега пример. Нека имаме функцията f(x) = 3x² + 6x. Намери нейните екстремуми.

Пресмятаме първата производна: f′(x) = 6x + 6. Приравняваме първата производна на нула:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

Следователно x = −1 е стационарна точка, т.е. точка на възможен екстремум. Пресмятаме втората производна. Тя е равна на функцията f′′(x) = 0x + 6. След заместване на точката x = −1 получаваме f′′(−1) = 6. Резултатът е положителен, функцията има в дадената точка минимум. Графика:

Какво става, ако и втората производна е нула?

Нека опитаме да намерим екстремума на функцията f(x) = x⁴, графика:

Първата производна на тази функция е f′(x) = 4x³. Решението на уравнението f′(x) = 0 е, разбира се, единствената стационарна точка s = 0. Пресмятаме втората производна, тя е равна на f′′(x) = 12x². В тази втора производна заместваме стационарната точка s, така че получаваме

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Получихме нула и според казаното досега не можем да определим дали в точката има екстремум, или няма. Но виждаме, че в точката има екстремум. В такъв случай диференцираме нататък. Намираме третата производна и заместваме стационарната точка s. Ако се получи ненулево число, в точката s има т.нар. инфлексна точка (за това по-късно). Ако се получи нула, диференцираме нататък. При четвъртата производна решаваме по същия начин като при втората – заместваме стационарната точка и положителна стойност на функцията означава, че там има минимум, а отрицателна – че там има максимум.

Третата производна е равна на f′′′(x) = 24x, след заместване имаме f′′′(0) = 0, така че диференцираме нататък. Четвъртата производна има вида f′′′′(x) = 24. Виждаме, че четвъртата производна вече е винаги положителна, от което можем – както при втората производна – да заключим, че функцията има в точката s = 0 минимум. И наистина има.

Обобщение на метода за намиране на екстремуми на функция

1. Имаме дадена функция f, която е диференцируема.

2. Диференцираме функцията f.

3. Решаваме уравнението f′(x) = 0. Всички s, които са решения на уравнението, наричаме стационарни точки, т.е. точки на възможен екстремум.

4. Пресмятаме втората производна.

5. Пресмятаме стойността на втората производна във всички стационарни точки s. Ако f′′(s) > 0, функцията има в точката s минимум, ако f′′(s) < 0, то в точката s има максимум. Ако f′′(s) = 0, диференцираме нататък.

   Съвет: ако не ти се иска да помниш дали втората производна трябва да е положителна, или отрицателна, за да има в точката максимум или минимум, просто го изведи например от функцията x². Графиката на тази функция би трябвало да знаеш, а първата и втората производна са прости: f′(x) = 2x и f′′(x) = 2. Следователно втората производна е винаги положителна и функцията x² има в точката x = 0 минимум.

6. Пресмятаме третата производна. Ако f′′′(s) ≠ 0, в точката s има инфлексна точка, в противен случай диференцираме нататък.

7. Пресмятаме четвъртата производна. Ако f′′′′(s) ≠ 0, в точката има екстремум. Иначе диференцираме нататък.

8. И така нататък и така нататък. Ако първата ненулева производна е от нечетен ред, това е инфлексна точка. Ако ненулевата производна е от четен ред, това е екстремум.