Единична окръжност

Единичната окръжност е обикновена окръжност, която е безразмерна, по-точно радиусът на тази окръжност е равен на едно. Единичната окръжност служи за нагледно представяне на определенията на отделните тригонометрични функции.

Какво е единична окръжност

Единичната окръжност е окръжност, която има радиус с дължина едно и центърът ѝ се намира в началото на координатната система, тоест в точката (0; 0). Погледни следния чертеж:

Окръжността е разделена на четири части, които наричаме квадранти. Горе вдясно е първият квадрант, горе вляво вторият, долу вляво третият и долу вдясно четвъртият. Тъй като ще използваме тази окръжност за изобразяване на ъгли, върху окръжността са отбелязани градусите. Там, където е нула градуса, обикновено започва рамото на ъгъла и се върти обратно на часовниковата стрелка. Затова точката (0; 1) е означена с прав ъгъл.

Определение на синус и косинус върху окръжността

Върху единичната окръжност много нагледно могат да се изобразят отделните тригонометрични функции. Първо нанасяме върху единичната окръжност някакъв ъгъл и след това ще покажем къде можем да отчетем стойностите на отделните функции върху единичната окръжност.

Нанесохме върху окръжността ъгъла AOB (в червено). Този ъгъл го наименувахме алфа. Рамената на ъгъла пресичат единичната окръжност в две точки: A и B. Важна за нас ще бъде точката B. Ако от точката B прекараме права, успоредна на оста x (на чертежа това е прекъснатата хоризонтална линия), тази права ще пресече оста y точно в една точка. Тази точка я означаваме P_s. При това е в сила, че дължината на отсечката OP_s (зелената отсечка) е равна на синуса на ъгъл алфа.

Тъй като се движим в единична окръжност, която има център в началото на координатната система, е в сила, че дължината на отсечката OP_s (зелената отсечка) е равна на ординатата на точката P_s, която е равна на ординатата на точката B.

Върху същата окръжност можем да отчетем и косинуса. Прекарваме права, успоредна на оста y и минаваща през точката B. Тази права ще пресече оста x в точка, която означаваме P_c. Дължината на отсечката OP_c е тогава равна на косинуса на ъгъл алфа. Отново можем да кажем, че тази стойност е равна на абсцисата на точките B и P_c.

Определение на тангенс и котангенс

Подобно на това как определихме върху единичната окръжност синус и косинус, можем да определим тук тангенс и котангенс. За прегледност първо ще покажем къде върху единичната окръжност се появява тангенсът. За това ще ни трябва още една права. Това ще е правата, която е успоредна на оста y и минава през точката A, тоест през точката (1; 0). На следния чертеж това е синята права:

Тази права пресича лъча (рамото на ъгъла) OB в една точка, която означаваме P_t. Дължината на отсечката AP_t е тогава равна на тангенса на ъгъл алфа. Отново е достатъчно да вземем ординатата на точката P_t и ще получим тангенса на ъгъл алфа.

За да изобразим върху единичната окръжност котангенса, ще ни трябва още една права. Този път става дума за права, която минава през точката (0; 1) и е успоредна на оста x. Отново е откроена със синия цвят:

Тази права пресича лъча (рамото на ъгъла) OB в една точка, която означаваме P_k. Дължината на отсечката CP_k е тогава равна на котангенса на ъгъл алфа. Както винаги, можем да вземем само абсцисата на точката P_k и получаваме котангенса на ъгъла.

Въпросът е какво ще се случи, ако ъгъл алфа е по-голям от 90 градуса при тангенса и по-голям от 180 градуса при котангенса, защото в тези случаи правата не пресича рамото на ъгъла, вж. следния чертеж:

В този момент правим от лъча OB права и тази права вече пресича правата p.

Подобно бихме постъпили и в случая на тангенса.

Кога тангенсът и котангенсът не са определени

Върху единичната окръжност можем да забележим нещо интересно. Ако ъгъл алфа е равен на 180 градуса, тогава правата p и рамото на ъгъла никога не се пресичат, защото ще са успоредни. Как поправяме този проблем? Никак, котангенсът на 180 градуса не е определен. Подобно тангенсът на 90 градуса не е определен, защото такова рамо ще е успоредно на оста y и ще е успоредно и на правата, с която би трябвало да се пресече. Следният чертеж показва това поне за котангенса.